拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left(t\right)}}$ 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为 −$$\mathrm{\mathit{L\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t} \right )}\right ]\mathrm{=}X\mathrm{\left( \mathit{s}\right)}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty}x\mathrm{\left (\mathit{t} \right )}e^{-st} \:dt}}$$利用拉普拉斯变换进行电路分析 拉普拉斯变换可以用来解决不同的电路问题。为了解决电路问题，首先要写出电路的微分方程，然后利用拉普拉斯变换求解这些微分方程。此外，… 阅读更多

卷积 两个信号 $\mathit{x\left ( t \right )}$ 和 $\mathit{h\left ( t \right )}$ 的卷积定义为， $$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}x\left(t\right)*h\left(t\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty}x\left(\tau\right)\:h\left(t-\tau\right)\:d\tau}}$$这个积分也称为卷积积分。频域卷积定理陈述 - 频域卷积定理指出，两个信号在时域的相乘等效于它们频谱在频域的卷积。因此，如果两个信号 $\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )}$ 和 $\mathit{x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )}$ 的傅里叶变换定义为$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right)} }$$和$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)}}$$那么，根据频域卷积定理，$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right).x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\left [ X_{\mathrm{1}}\left(\omega\right)* X_{\mathrm{2}}\left(\omega\right)\right ]}}$$证明 从傅里叶变换的定义，我们有，… 阅读更多

傅里叶级数只能用于分析周期信号，而傅里叶变换可以用于分析周期和非周期函数。因此，傅里叶变换可以用作分析整个区间内周期和非周期信号的通用数学工具。可以使用冲激函数的概念找到周期信号的傅里叶变换。现在，考虑一个周期为 $\mathit{T}$ 的周期信号 $\mathit{x\left(t\right )}$。然后，$\mathit{x\left(t\right )}$ 用指数傅里叶级数表示的表达式为， $$\mathrm{\mathit{x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } C_{n}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t}}}$$其中 $\mathit{C_{n}}$ 为… 阅读更多

线性时不变系统 对于一个系统，如果叠加原理和齐次性原理成立，并且输入/输出特性不随时间变化，则该系统称为线性时不变 (LTI) 系统。LTI 系统的冲激响应 当冲激信号施加到线性系统时，系统的响应称为冲激响应。系统的冲激响应对于理解系统的行为非常重要。因此，如果$$\mathrm{\mathit{\mathrm{输入}, x\left(t\right)=\delta\left(t\right)}}$$那么， $$\mathrm{\mathit{\mathrm{输出}, y\left(t\right)=h\left(t\right)}}$$由于冲激函数的拉普拉斯变换和傅里叶变换分别为， $$\mathrm{\mathit{L\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}\:\:\mathrm{和} \:\:F\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$因此，一旦… 阅读更多

连续时间 LTI 系统的传递函数可以使用拉普拉斯变换或傅里叶变换来定义。此外，LTI 系统的传递函数只能在零初始条件下定义。连续时间 LTI 系统的框图如下所示。LTI 系统在频域中的传递函数 LTI 系统的传递函数 𝐻(𝜔) 可以通过以下方式之一定义 −LTI 系统的传递函数定义为输出信号的傅里叶变换与输入信号的傅里叶变换之比，前提是… 阅读更多

因果性条件 因果系统是在应用输入之前不产生输出的系统。因此，对于 LTI（线性时不变）系统来说，要使其因果，系统的冲激响应必须在 t 小于零时为零，即$$\mathrm{\mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}\mathrm{0};\; \; \mathrm{对于}\: \: t< 0}}$$术语物理实现表示可以实时物理地构建该系统。物理可实现的系统在应用输入之前不会产生输出。这称为系统的因果性条件。因此，… 阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$，$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的傅里叶变换可以定义为， $$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt }}$$而逆傅里叶变换定义为， $$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega }} $$傅里叶变换的帕塞瓦尔定理 陈述 – 帕塞瓦尔定理指出，信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的能量[如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是非周期的]或信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的功率[如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ … 阅读更多

无失真传输 当信号通过系统传输并且信号的形状发生变化时，称为失真。如果系统的输出是输入信号的精确复制品，则信号通过系统的传输称为无失真传输。线性相位系统 为了实现通过系统的无失真传输，不应该有任何相位失真，即系统的相位应该是线性的。对于线性相位系统，系统的冲激响应关于延迟时间 $\mathit{(t_{d})}$ 对称。证明 对于线性相位系统，我们有，$$\mathrm{ \mathit{H\left ... 阅读更多

对于连续时间函数 $\mathit{x(t)}$，$\mathit{x(t)}$ 的傅里叶变换可以定义为$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}}$$而逆傅里叶变换定义为， $$\mathrm{\mathit{F^{\mathrm{-1}}\left [ X\left ( \omega \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}x\left ( t \right )\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega }}$$傅里叶变换的乘法特性 陈述 – 连续时间傅里叶变换 (CTFT) 的乘法特性指出，两个函数在时域的相乘等效于它们频谱在频域的卷积。乘法特性也称为傅里叶变换的频域卷积定理… 阅读更多

对于连续时间函数$\mathit{x(t)}$，其傅里叶变换定义为：$$\mathrm{\mathit{X\left(\omega\right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty} x\left(t\right)\:e^{-j\omega t}\:dt} }$$高斯信号的傅里叶变换高斯函数定义为：$$\mathrm{\mathit{g_{a}\left(t\right)\mathrm{=} e^{-at^{\mathrm{2}}} ;\:\:\mathrm{for\:all} \:t} }$$因此，根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{\mathit{X\left(\omega\right)\mathrm{=} F\left [e^{-at^\mathrm{2}} \right ]=\int_{-\infty }^{\infty}e^{-at^\mathrm{2}} \:e^{-j\omega t} \:dt}}$$ $$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X\left(\omega\right) \mathrm{=}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(at^\mathrm{2}+j\omega t\right) }\:dt \mathrm{=}e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\left [{-t\sqrt{a}+(j\omega/\mathrm{2}\sqrt{a})}\right]^{2}}}dt }$$令：$$\mathrm{\mathit{\left [t\sqrt{a}+(j\omega /\mathrm{2}\sqrt{a})\right ]\mathrm{=} u}}$$则：$$\mathrm{\mathit{du\mathrm{=} \sqrt{a} \:dt\:\mathrm{and}\: \:dt\mathrm{=} \frac{du}{\sqrt{a}}}}$$ $$\mathrm{\mathit{\therefore X\left(\omega\right)\mathrm{=}e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}\int_{-\infty }^{\infty} \frac{e^{-u^{\mathrm{2}}}}{\sqrt{a}}\:du\:\mathrm{=} \frac{e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}}{\sqrt{a}}\int_{-\infty }^{\infty}e^{-u^{\mathrm{2}}} \:du}}$$ $$\mathrm{\mathit{\because\int_{-\infty }^{\infty}e^{-u^{\mathrm{2}}} \:du\mathrm{=} \sqrt{\pi}}}$$ $$\mathrm{\mathit{\therefore X\left(\omega\right)\mathrm{=}\frac{e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}}{\sqrt{a}}\cdot \sqrt{\pi}\mathrm{=} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)} } }$$因此，高斯函数的傅里叶变换为：$$\mathrm{\mathit{F\left [e^{-at^{\mathrm{2}}}\right ] \mathrm{=}\sqrt{\frac{\pi}{a}} ... 阅读更多