功率谱密度信号在频域中的平均功率分布称为功率谱密度 (PSD) 或功率密度 (PD) 或功率密度谱。功率谱密度用 $\mathit{S\left (\omega \right )}$ 表示，由下式给出：$$\mathrm{\mathit{S\left (\omega \right )\mathrm{=}\lim_{\tau \rightarrow \infty }\frac{\left | X\left (\omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}}{\tau }}}$$自相关自相关函数给出了信号与其时间延迟版本的相似性度量。功率（或周期）信号 $\mathit{x\left ( t \right ) }$ 的自相关函数，其周期为 T，由下式给出：$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau \right)=\lim_{T\rightarrow \infty }\mathrm{\frac{1}{\mathit{T}}}\int_{-\left(T/\mathrm{2}\right)}^{T/\mathrm{2}}x\left(t\right)\:x^{*}\left(t-\tau \right)\:dt}}$$其中，... 阅读更多

什么是滤波器？滤波器是一种频率选择性网络，即它允许某些频率的信号通过而没有衰减或衰减很小，并且它拒绝所有其他频率分量。什么是理想滤波器？理想滤波器是一种频率选择性网络，具有非常尖锐的截止特性，即它精确地传输某些指定频段的信号，并完全拒绝该频段之外的频率信号。因此，理想滤波器的相位谱是线性的。理想滤波器特性根据频率响应特性，理想滤波器可以分为以下类型 -理想 ... 阅读更多

希尔伯特变换当信号所有正频率谱分量的相位角移位 (-90°)，所有负频率谱分量的相位角移位 (+90°) 时，得到的时域函数称为该信号的希尔伯特变换。信号 $\mathit{x\left(t\right)}$ 的希尔伯特变换通过 $\mathit{x\left(t\right)}$ 和 (1/πt) 的卷积得到，即， $$\mathrm{\mathit{\hat{x}\left(t\right)=x\left(t\right)*\left ( \frac{\mathrm{1}}{\mathit{\pi t}} \right )}}$$希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的性质陈述和证明如下所示 -性质 1希尔伯特变换不改变信号的定义域。证明设 ... 阅读更多

卷积卷积是组合两个信号以产生第三个信号的数学工具。换句话说，卷积可以定义为用于表达线性时不变系统输入和输出之间关系的数学运算。考虑两个信号 $\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$ 和 $\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$. 那么，这两个信号的卷积定义为$$\mathrm{ \mathit{\mathit{y\left(t\right)=x_{\mathrm{1}}\left({t}\right)*x_{\mathrm{2}}\left({t}\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left(\tau\right)x_{\mathrm{2}}\left(t-\tau\right)\:d\tau=\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(\tau \right)x_{\mathrm{1}}\left(t-\tau\right)\:d\tau }}}$$卷积的性质连续时间卷积具有基本且重要的性质，如下所示 -卷积的交换律 - 卷积的交换律指出，我们对两个信号进行卷积的顺序并不... 阅读更多

失真定义为信号在通过系统传输时形状的变化。因此，当系统的输出是输入信号的精确复制时，信号通过系统的传输称为无失真。这个复制品，即系统的输出，可能具有不同的幅度，并且也可能具有不同的时间延迟。输出信号幅度的恒定变化和恒定的时间延迟不被认为是失真。只有信号形状的变化才被认为是失真。在数学上，... 阅读更多

对于连续时间函数 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$用傅里叶变换进行系统分析考虑一个线性时不变 (LTI) 系统，其由以下微分方程描述：$$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}}$$对上述方程两边进行傅里叶变换，得到：$$\mathrm{F\left [ \sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]=F\left [ \sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]}$$利用线性性质 $\mathrm{\left [ i.e., \: ax_{1}\left ( t \right )+bx_{2}\left ... 阅读更多

对于连续时间函数 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的时标变换性质陈述 - 傅里叶变换的时标变换性质指出，如果信号在时间上扩展了量 (a)，则其傅里叶变换在频率上压缩了相同的量。因此，如果$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X\left ( \omega \right )}$$那么，根据傅里叶变换的时标变换性质$$\mathrm{x\left ( at \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left | a \right |} X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$当 𝑎 > 1 时，𝑥(𝑎𝑡) 为 ... 阅读更多

傅里叶变换对于连续时间函数 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$反傅里叶变换定义为：$$\mathrm{x\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega}$$复函数的傅里叶变换考虑一个复函数 𝑥(𝑡)，表示为 -$$\mathrm{x\left ( t \right )=x_{r}\left ( t \right )+jx_{i}\left ( t \right )}$$其中，𝑥𝑟 (𝑡) 和 𝑥𝑖 (𝑡) 分别是函数的实部和虚部。现在，函数 𝑥(𝑡) 的傅里叶变换由下式给出：$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ... 阅读更多

卷积两个信号 𝑥(𝑡) 和 ℎ(𝑡) 的卷积定义为：$$\mathrm{y\left ( t \right )=x\left( t \right )\ast h\left ( t \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( \tau \right )h\left ( t-\tau \right )d\tau}$$该积分也称为卷积积分。时间卷积定理陈述 - 时间卷积定理指出，时域中的卷积等效于其频域中频谱的乘积。因此，如果两个时间信号的傅里叶变换给出为：$$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1} \left ( \omega \right )}$$和$$\mathrm{x_{2}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2} \left ( \omega \right )}$$那么，根据时间 ... 阅读更多

线性系统 – 满足叠加原理和齐次原理的系统称为线性系统。线性系统的滤波特性对于给定的线性系统，输入信号 𝑥(𝑡) 会产生响应信号 𝑦(𝑡)。因此，系统会根据自身的特性处理输入信号 𝑥(𝑡)。输入信号 𝑥(𝑡) 的频谱密度函数在 s 域中用 𝑋(𝑠) 表示，在频域中用 𝑋(𝜔) 表示。同样，响应信号 𝑦(𝑡) 的频谱密度函数在 s 域中用 𝑌(𝑠) 表示，在频域中用 𝑌(𝜔) 表示。因此，$$\mathrm{Y\left ( s \right ... 阅读更多