对于连续时间函数 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$傅里叶变换的时间反转特性陈述 – 傅里叶变换的时间反转特性指出，如果一个函数 𝑥(𝑡) 在时域中反转，则其在频域中的频谱也会反转，即如果$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( \omega \right )}$$那么，根据傅里叶变换的时间反转特性，$$\mathrm{x\left ( -t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( -\omega \right )}$$证明根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ) ... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$单位冲激函数的傅里叶变换单位冲激函数定义为：$$\mathrm{\delta(t)=\begin{cases}1 & for\:t=0 \0 & for\:t ≠ 0 \end{cases}}$$如果给出$$\mathrm{x(t)=\delta(t)}$$那么，根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j\omega t}dt}$$由于冲激函数只存在于 t= 0。因此，$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}\delta(t) e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}1\cdot e^{-j\omega t}dt=e^{-j\omega t}|_{t=0}=1}$$$$\mathrm{\therefore\:F[\delta(t)]=1\:\:or\:\:\delta(t) \overset{FT}{\leftrightarrow}1}$$也就是说，单位冲激函数的傅里叶变换是 1。单位冲激函数傅里叶变换的幅度和相位表示如下：$$\mathrm{Magnitude, |X(\omega)|=1;\:\:for\:all\:\omega}$$$$\mathrm{Phase, \angle X(\omega)=0;\:\:for\:all\:\omega}$$单位冲激函数傅里叶变换的图形表示为... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$双边实指数函数的傅里叶变换令双边实指数函数为：$$\mathrm{x(t)=e^{-a|t|}}$$双边或双侧实指数函数定义为：$$\mathrm{e^{-a|t|}=\begin{cases}e^{at} & for\:t ≤ 0\e^{-at} & for\:t ≥ 0 \end{cases} =e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t) }$$其中，函数 $u(t)$ 和 $u(-t)$ 分别是单位阶跃函数和时间反转单位阶跃函数。现在，根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}[e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t)]e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{0}e^{at}e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{-\infty}^{0}e^{(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[\frac{e^{-(a-j\omega)t}}{-(a-j\omega)}\right]_{0}^{\infty}+\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a-j\omega)} \right]+\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a+j\omega)} \right]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{a-j\omega}+\frac{1}{a+j\omega}=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$因此，双边实指数函数的傅里叶变换为：$$\mathrm{F[e^{-a|t|}]=X(\omega)=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$或者，它也可以表示为：$$\mathrm{e^{-a|t|}\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$幅度... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{x(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t }dt}$$正弦函数的傅里叶变换令$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0} t}$$根据欧拉公式，我们有：$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0} t=\left[\frac{ e^{j\omega_{0} t}- e^{-j\omega_{0} t}}{2j} \right]}$$那么，根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0} t]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}sin\:\omega_{0}\: t\: e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{ \Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}\left[ \frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}\right] e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{2j}\left[ \int_{−\infty}^{\infty}e^{j\omega_{0} t}e^{-j\omega t} dt-\int_{−\infty}^{\infty} e^{-j\omega_{0} t}e^{-j\omega t} dt\right]}$$$$\mathrm{=\frac{1}{2j}\{F[e^{j\omega_{0} t}] -F[e^{-j\omega_{0} t}]\}}$$由于复指数函数的傅里叶变换由下式给出：$$\mathrm{F[e^{j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega-\omega_{0})\:\:and\:\:F[e^{-j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega+\omega_{0})}$$$$\mathrm{ \therefore\:X(\omega)=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(\omega-\omega_{0})-2\pi\delta(\omega+\omega_{0})]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$因此，正弦波的傅里叶变换为：$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0}\:t]=-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$或者，它也可以表示为：$$\mathrm{sin\:\omega_{0}\:t\overset{FT}{\leftrightarrow}-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$正弦函数的图形表示为... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)= \int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$单边实指数函数的傅里叶变换单边实指数函数定义为：$$\mathrm{x(t)=e^{-a t}u(t)}$$其中，$u(t)$ 是单位阶跃信号，定义为：$$\mathrm{u(t)=\begin{cases}1 & for\:t≥ 0 \0 & for\:t < 0 \end{cases}}$$那么，根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-at}u(t)e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t} dt=\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)} \right]_{0}^{\infty}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{-(a+j\omega)}[e^{-\infty}-e^{0}]=\frac{0-1}{-(a+j\omega)}=\frac{1}{a+j\omega}}$$因此，单边实指数函数的傅里叶变换为：$$\mathrm{F[e^{-at}u(t)]=\frac{1}{a+j\omega}}$$或者，它也可以表示为：$$\mathrm{e^{-at}u(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{a+j\omega}}$$单边实指数函数傅里叶变换的幅度和相位表示单边实指数函数的傅里叶变换的... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$符号函数的傅里叶变换符号函数由 $sgn(t)$ 表示，定义为$$\mathrm{sgn(t)=\begin{cases}1 & for\:t>0\-1 & for\:t<0\end{cases}}$$符号函数的傅里叶变换为...

傅里叶变换连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$矩形函数的傅里叶变换考虑图 1 所示的矩形函数。它定义为：$$\mathrm{rect\left(\frac{t}{τ}\right)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}1 & for\:|t|≤ \left(\frac{τ}{2}\right)\0 & otherwise\end{cases}}$$给出$$\mathrm{x(t)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)}$$因此，根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right) \right]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt=\int_{−\infty}^{\infty}\prod\left(\frac{t}{τ}\right)e^{-j\omega t}\:dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−(τ/2)}^{(τ/2)}1\cdot e^{-j\omega t}\:dt=\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-τ/2}^{τ/2}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{e^{-j\omega (τ/2)}-e^{j\omega (τ/2)}}{-j\omega}\right]=\left[ \frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{j\omega }\right]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{2τ[e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}]}{j\omega\cdot (2τ) }\right]=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]}$$$$\mathrm{\because \:\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]=sin\:\omega (τ/2)}$$$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\cdot sin \omega (τ/2)=τ \left[\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}\right]}$$$$\mathrm{\because\:sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)=\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}}$$$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$因此，矩形函数的傅里叶变换为$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right)\right]=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$或者，它也可以... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$$三角脉冲的傅里叶变换图 1 显示了一个三角信号：它定义为：$$\mathrm{\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}\left( 1+\frac{2t}{τ}\right); & for\:\left(-\frac{τ}{2}\right)≤t≤0\\\left( 1-\frac{2t}{τ}\right); & for\:0≤t≤\left(\frac{τ}{2}\right)\0; & otherwise\end{cases}}$$三角脉冲的傅里叶变换为...

频率为 $0, \omega_{0}, 2\omega_{0}, 3\omega_{0}, ....k\omega_{0}$ 的正弦和余弦项的无穷级数称为三角傅里叶级数，可以写成：

什么是傅里叶级数？在工程领域，大多数现象都是周期性的，例如交流电流和电压。这些周期函数可以通过称为傅里叶级数的过程分解成它们的组成部分来进行分析。因此，傅里叶级数可以定义如下：“在一定时间间隔内，用正交函数（即正弦和余弦函数）的线性组合来表示周期信号的方法称为傅里叶级数。”傅里叶级数仅适用于周期信号，即在 $(-\infty\:to\:\infty)$ 区间内周期性重复的信号，并且... 阅读更多