傅里叶级数的余弦形式是三角傅里叶级数的另一种形式。余弦形式的傅里叶级数也称为极坐标形式傅里叶级数或谐波形式傅里叶级数。函数 x(t) 的三角傅里叶级数包含相同频率的正弦和余弦项。也就是说， $$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (1)}$$其中， $$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt}$$$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:n\omega_{0} t\:dt}$$$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:n\omega_{0} t\:dt}$$在等式 (1) 中，通过将正弦和余弦项的分子和分母乘以 ($\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}$)，我们得到， $$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\right)\left( \frac{a_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}cos\:n\omega_{0} t+\frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}sin\:n\omega_{0} t\right)… (2)}$$将等式 (2) 中的值设置为， $$\mathrm{a_{0}=A_{0}}$$$$\mathrm{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}=A_{n}… (3)}$$$$\mathrm{\frac{a_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}=cos\:\theta_{n}\:\:and\:\:\frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}=-sin\:\theta_{n}}$$我们得到， $$\mathrm{x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}(cos\:\theta_{n}\:cos\:n\omega_{0} t-sin\:\theta_{n}\:sin\:n\omega_{0} t)}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\:cos(n\omega_{0} t+\theta_{n})… (4)}$$其中， $$\mathrm{\theta_{n}=-tan^{-1} \left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)… (5)}$$The ... 阅读更多

四分之一波对称性具有奇对称或偶对称以及半波对称的周期函数 $x(t)$ 被认为具有四分之一波对称性。在数学上，如果周期函数 $x(t)$ 满足以下条件，则称其具有四分之一波对称性：$$\mathrm{x(t)=x(-t)\:or\:x(t)=-x(-t)\:and\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right )}$$图 1 显示了一些具有四分之一波对称性的周期函数的示例。具有四分之一波对称性的函数的傅里叶级数系数计算如下：情况一 – 当 n 为奇数时$$\mathrm{x(t)=-x(-t)\:and\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right )}$$对于这种情况，$$\mathrm{a_{0}=0\:\:and\:\:a_{n}=0}$$并且，$$\mathrm{b_{n}=\frac{8}{T} \int_{0}^{T/4}x(t)\:sin\:n\omega_{0}\:t\:dt}$$情况二 – 当 n 为偶数时$$\mathrm{x(t)=x(-t)\:and\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right ... 阅读更多

傅里叶级数如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为， $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出， $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{-jn\omega_{0} t}\:dt… (2)}$$帕塞瓦尔定理和帕塞瓦尔恒等式设 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 是两个具有周期 T 的复周期函数，其傅里叶级数系数为 $C_{n}$ 和 $D_{n}$。如果， $$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}D_{n}}$$然后，连续时间傅里叶级数的帕塞瓦尔定理指出$$\mathrm{\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt =\sum_{n=−\infty}^{\infty} C_{n}\:D_{n}^{*}\:[for\:complex\: x_{1}(t)\: \& \: x_{2}(t)] … (3)}$$并且傅里叶级数的帕塞瓦尔恒等式指出，如果$$\mathrm{x_{1}(t)=x_{1}(t)=x(t)}$$然后， $$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^{2}\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}|C_{n}|^{2}… (4)}$$证明 – 帕塞瓦尔定理或帕塞瓦尔关系或 ... 阅读更多

波对称性的重要性如果周期信号 $x(t)$ 具有某种类型的对称性，则一些三角傅里叶级数系数可能变为零，因此系数的计算变得简单。奇对称或旋转对称当周期函数 $x(t)$ 关于垂直轴反对称时，则称该函数具有奇对称或旋转对称性。在数学上，如果函数 $x(t)$ 满足以下条件，则称其具有奇对称性：$$\mathrm{x(t)=-x(-t)… (1)}$$图中显示了一些具有奇对称性的函数。很明显，奇对称函数总是关于垂直轴反对称的。解释众所周知，任何周期信号 ... 阅读更多

傅里叶变换傅里叶变换定义为一种变换技术，它将信号从连续时间域变换到相应的频域，反之亦然。换句话说，傅里叶变换是一种将时间函数 $x(t)$ 变换为频率函数 X(ω) 以及反之亦然的数学技术。对于连续时间函数 $x(t)$，$x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为$$\mathrm{X(ω)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$$关于傅里叶变换的要点傅里叶变换可以应用于周期信号和非周期信号。傅里叶变换广泛应用于 LTI（线性时不变）系统、密码学、信号处理、信号分析等领域的分析。傅里叶变换 ... 阅读更多

波对称性的重要性如果周期信号 $x(t)$ 具有某种类型的对称性，则一些三角傅里叶级数系数可能变为零，因此系数的计算变得简单。半波对称如果周期函数 $x(t)$ 满足以下条件，则称其具有半波对称性：$$\mathrm{x(t)=-x\left ( t ± \frac{T}{2}\right )… (1)}$$其中，$T$ 是函数的周期。图中显示了一个具有半波对称性的周期函数 $x(t)$。可以看出，此函数既不是纯偶数也不是纯奇数。对于此类函数，直流分量 ... 阅读更多

在周期函数 $x(t)$ 的傅里叶系数与频率 (ω) 之间绘制的图形称为周期信号的傅里叶频谱。周期函数的傅里叶频谱有两个部分：幅度谱 – 周期信号的幅度谱定义为傅里叶系数的幅度与频率的关系图。相位谱 – 傅里叶系数的相位与频率的关系图称为信号的相位谱。幅度谱和相位谱一起称为周期信号 $x(t)$ 的傅里叶频率谱。这种类型的表示 ... 阅读更多

指数傅里叶级数周期信号可以在一定时间间隔内表示为正交函数的线性组合。如果这些正交函数是指数函数，则称为指数傅里叶级数对于任何周期信号 𝑥(𝑡)，傅里叶级数的指数形式由下式给出， $$\mathrm{X(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{jn\omega_0t}\:\:\:...(1)}$$其中，𝜔0 = 2𝜋⁄𝑇 是周期函数的角频率。指数傅里叶级数的系数为了计算指数级数的系数，我们将等式 (1) 的两边乘以 𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡，并在一个周期内积分，因此我们有， $$\mathrm{\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jm\omega_0t}dt=\int_{t_0}^{t_0+T}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_0t})e^{-jm\omega_{0}t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jm\omega_0t}dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\int_{t_0}^{t_0+T}e^{jn\omega_0t}e^{-jm\omega_0t}dt}$$$$\mathrm{\because \int_{t_0}^{t_0+T}e^{jn\omega_0t}e^{-jm\omega_0t}dt=\begin{cases}0 & for\: m ... 阅读更多

周期信号可以在一定时间间隔内表示为正交函数的线性组合，如果这些正交函数是三角函数，则傅里叶级数表示称为三角傅里叶级数。解释考虑一个正弦信号 $x(t)=A\:sin\:\omega_{0}t$，它以周期 $T$ 为周期，使得 $T=2\pi/ \omega_{0}$。如果两个正弦波的频率是基频 $(\omega_{0})$ 的整数倍，则这两个正弦波的和也是周期性的。我们可以证明，一个信号 $x(t$，它是正弦和余弦函数的总和，其频率是 ... 阅读更多

傅里叶级数如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为：$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出：$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt… (2)}$$傅里叶级数的时移特性设 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 且傅里叶级数系数为 $C_{n}$ 的周期函数。那么，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$则连续时间傅里叶级数的时移特性指出$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0} t_{0}}C_{n}}$$证明根据连续时间傅里叶级数的定义，我们得到：$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}…(3)}$$在公式 (3) 中将 $t$ 替换为 $(t− t_{0})$，我们有：$$\mathrm{x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}(t− t_{0})}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}… (4)}$$$$\mathrm{∵\:\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}]… (5)}$$根据公式 (4) 和... 阅读更多