傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$反傅里叶变换定义为：$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d \omega}$$傅里叶变换的时间微分特性 声明 – 傅里叶变换的时间微分特性指出，时域中函数的微分等效于其傅里叶变换在频域中乘以因子 $j\omega$。因此，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那么，根据时间微分特性，$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdot X(\omega)}$$证明 根据反傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t} d\omega}$$对两边求时间微分，我们得到：$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)=\frac{d}{dt}\left [ \frac{1}{2\pi} \int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t} d\omega\right ]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)\frac{d}{dt}[e^{j\omega t}]d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)j\omega ... 阅读更多

傅里叶级数 如果 $x(t)$ 是周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为：$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出：$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt… (2)}$$傅里叶级数的时间微分特性 如果 $x(t)$ 是周期为 T 的周期函数，且傅里叶级数系数为 $C_{n}$。如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$那么，连续时间傅里叶级数的时间微分特性指出$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FS}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}}$$证明 根据连续时间傅里叶级数的定义，我们得到：$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (3)}$$对等式 (3) 的两边求时间微分，我们有：$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\frac{d(e^{jn\omega_{0} t})}{dt}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}(jn\omega_{0})}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0} t}… (4)}$$$$\mathrm{∵\: \sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[jn\omega_{0}C_{n}]… ... 阅读更多

傅里叶级数 考虑一个周期信号 𝑔(𝑡)，其周期为 T，则函数 𝑔(𝑡) 的傅里叶级数定义为：$$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:....(1)}$$其中，𝐶𝑛 是傅里叶级数系数，由下式给出：$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:\:....(2)}$$从傅里叶级数推导傅里叶变换 设 𝑥(𝑡) 为非周期信号，且 𝑥(𝑡) 和 𝑔(𝑡) 之间的关系由下式给出：$$\mathrm{X(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)\:\:\:\:.....(3)}$$其中，T 是周期信号 𝑔(𝑡) 的周期。重新排列等式 (2)，我们得到：$$\mathrm{TC_n=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt}$$项 𝐶𝑛 表示频率 nω0 分量的幅度。设 nω0 = ω，当 𝑇 → ∞ 时。然后，我们有：$$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{t}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$$因此，离散的 ... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数 𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的卷积特性 声明 – 时域中两个信号的卷积等效于其频谱在频域中的乘积。因此，如果$$\mathrm{x_1(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)\:and\:x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_2(\omega)}$$那么，根据傅里叶变换的时间卷积特性，$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)*X_2(\omega)}$$证明 两个连续时间信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的卷积定义为：$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau}$$现在，根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{X(\omega)=F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau]e^{-j \omega t}dt }$$通过交换积分顺序，我们得到：$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(t-\tau)e^{-j \omega t}dt]d\tau }$$通过在第二个积分中用 (𝑡 − 𝜏) = 𝑢 代替，... 阅读更多

傅里叶级数 如果 𝑥(𝑡) 是周期为 T 的周期函数，则该函数的连续时间傅里叶级数定义为：$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:\:.....(1)}$$其中，𝐶𝑛 是指数傅里叶级数系数，由下式给出$$\mathrm{C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt\:\:\:\:\:.....(2)}$$傅里叶级数的卷积特性 根据卷积特性，时域中两个函数 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 卷积的傅里叶级数等于频域中其傅里叶级数系数的乘积。如果 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 是两个周期为 T 的周期函数，且傅里叶级数系数为 𝐶𝑛 和 𝐷𝑛。那么，如果$$\mathrm{x_1(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_n}$$$$\mathrm{x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_n}$$那么，连续时间傅里叶级数的卷积特性指出$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_nD_n}$$证明 根据 ... 阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数 x(t)，x(t) 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的共轭特性 声明 − 傅里叶变换的共轭特性指出，时域中函数 x(t) 的共轭导致其傅里叶变换在频域中的共轭，并且 ω 被替换为 (−ω)，即，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那么，根据傅里叶变换的共轭特性，$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$证明 根据傅里叶变换的定义，我们有$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$对两边取共轭，我们得到$$\mathrm{X^*(\omega)=[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt]^*}$$$$\mathrm{\Rightarrow X^*(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j\omega t}dt}$$现在，用 (−ω) 代替 (ω)，我们得到：$$\mathrm{X^*(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j\omega t}dt=F[x^*(t)]}$$$$\mathrm{\therefore F[x^*(t)]=X^*(-\omega)}$$或者，它也可以表示为：$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$自相关特性 ... 阅读更多

指数傅里叶级数 周期信号在一定时间间隔内表示为正交函数的线性组合。如果这些正交函数是指数函数，则该函数的傅里叶级数表示称为指数傅里叶级数。指数傅里叶级数是傅里叶级数最常用的形式。在此表示中，周期函数 x(t) 表示为复指数函数的加权和。复指数傅里叶级数是傅里叶级数的方便且紧凑的形式，因此它在通信理论中得到了广泛的应用。解释 设一组复 ... 阅读更多

当在 R Ω 电阻上施加 V 伏特的电压时，则电流 I 流过它。电阻中消耗的功率由下式给出：$$\mathrm{P=I^2R=\frac{V^2}{R}\:\:\:\:\:\:....(1)}$$但是当电压和电流信号不恒定时，功率在每个时刻都会变化，瞬时功率的方程由下式给出：$$\mathrm{P=i^2(t)R=\frac{V^2(t)}{R}\:\:\:\:\:\:....(2)}$$其中，𝑖(𝑡) 和 𝑣(𝑡) 分别是电流和电压的相应瞬时值。现在，如果电阻 (R) 的值为 1 Ω，则瞬时功率可以表示为：$$\mathrm{p=i^2(t)=v^2(t)\:\:\:\:\:\:....(3)}$$因此，信号 x(t) 的瞬时功率可以给出 ... 阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数 x(t)，x(t) 的傅里叶变换可以定义为$$\mathrm{X(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$连续时间傅里叶变换的对偶特性 声明 – 如果函数 x(t) 具有傅里叶变换 X(ω)，并且我们在时域中形成具有傅里叶变换函数形式的新函数 X(t)，则它将具有傅里叶变换 X(ω)，其具有原始时间函数的函数形式，但它是频率的函数。数学上，CTFT 的对偶特性指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那么，根据对偶特性，$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(-\omega)}$$证明 根据反傅里叶变换的定义，我们有$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega }$$$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega ... 阅读更多

周期信号的傅里叶级数表示具有多种重要性质，这些性质在将信号从一种形式转换为另一种形式的过程中非常有用。考虑两个周期为 T 的周期信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡)，它们的傅里叶级数系数分别为 𝐶𝑛 和 𝐷𝑛。基于此假设，让我们继续检查连续时间傅里叶级数的各种性质。线性性质连续时间傅里叶级数的线性性质指出，如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\: and\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$则$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$时移性质傅里叶级数的时移性质指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$则$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}}$$时间尺度变换性质傅里叶级数的时间尺度变换性质指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$则$$\mathrm{x(at)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:with\:\omega_{0}\rightarrow a\omega_{0}}$$时间… 阅读更多