波形对称性的重要性如果一个周期信号 𝑥(𝑡) 具有某种类型的对称性，则一些三角傅里叶级数系数可能会变为零，从而简化系数的计算。偶对称或镜像对称当一个周期函数关于垂直轴对称时，则称其具有偶对称或镜像对称。偶对称也称为反射对称。在数学上，如果周期函数 x(t) 满足以下条件，则称其具有偶对称，$$\mathrm{𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡)\:\:\:\:\:\: ...(1)}$$图中显示了一些具有偶对称的函数示例。偶函数始终关于垂直轴对称。解释如... 阅读更多

傅里叶变换傅里叶变换是一种变换技术，它将信号从连续时间域变换到相应的频域，反之亦然。连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为， $$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt… (1)}$$逆傅里叶变换连续时间函数的逆傅里叶变换定义为， $$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\:e^{j\omega t}d\omega… (2)}$$方程 (1) 和 (2) 用于 $X(\omega)$ 和 $x(t)$ 被称为傅里叶变换对，可以表示为 -$$\mathrm{X(\omega)=F[x(t)]}$$和$$\mathrm{x(t)=F^{-1}[X(\omega)]}$$傅里叶变换对表函数，x(t)傅里叶变换，X(ω)$\delta(t)$1$\delta(t-t_{0})$$e^{-j \omega t_{0}}$1$2\pi \delta(\omega)$u(t)$\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$$\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$$\omega_{0}\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{0});\:\:\left(\omega_{0}=\frac{2\pi}{T} \right)$sgn(t)$\frac{2}{j\omega}$$ e^{j\omega_{0}t}$$ 2\pi\delta(\omega-\omega_{0})$$ cos\:\omega_{0}t$$\pi[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})]$$sin\:\omega_{0}t$$-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]$$e^{-at}u(t);\:\:\:a >0$$\frac{1}{a+j\omega}$$t\:e^{at}u(t);\:\:\:a >0$$\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}$$e^{-|at|};\:\:a >0$$\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}$$e^{-|t|}$$\frac{2}{1+\omega^{2}}$$\frac{1}{\pi t}$$-j\:sgn(\omega)$$\frac{1}{a^{2}+t^{2}}$$\frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|}$$\Pi (\frac{t}{τ})$$τ\:sin c(\frac{\omega τ}{2})$$\Delta(\frac{t}{τ})$$\frac{τ}{2}sin C^{2}(\frac{\omega τ}{4})$$\frac{sin\:at}{\pi t}$$P_{a}(\omega)=\begin{cases}1 & for\:|\omega|\:< a\0 & for\:|\omega|\: > a ... 阅读更多

三角傅里叶级数周期函数可以在一定的时间间隔内表示为正交函数的线性组合。如果这些正交函数是三角函数，则称为三角傅里叶级数。在数学上，周期信号的标准三角傅里叶级数展开式为， $$\mathrm{x(t)=a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt\:\:… (1)}$$指数傅里叶级数周期函数可以在一定的时间间隔内表示为正交函数的线性组合，如果这些正交函数是指数函数，则称为指数傅里叶级数。在数学上，周期信号的标准指数傅里叶级数展开式为... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为， $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$逆傅里叶变换连续时间函数的逆傅里叶变换定义为， $$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换 (CTFT) 具有许多重要的性质。这些性质可用于推导傅里叶变换对，也可用于推导出一般的频域关系。这些性质还有助于找到各种时域运算对频域的影响。连续时间傅里叶变换的一些重要性质在表中给出 -CTFT 的性质时域 x(t)频域 X(ω)线性性质$ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$$aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)$时间移位... 阅读更多

傅里叶级数如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为， $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}\:\:… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出， $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt\:\:… (2)}$$调制或乘法性质设 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 为两个周期为 $T$ 且傅里叶级数系数分别为 $C_{n}$ 和 $D_{n}$ 的周期信号。如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$那么，连续时间傅里叶级数的调制或乘法性质指出，$$\mathrm{x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}\:D_{n-k}}$$证明根据连续时间傅里叶级数的定义，我们得到， $$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{jk\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{-j(n-k)\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} ... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为， $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的调制性质陈述 - 连续时间傅里叶变换的调制性质指出，如果连续时间函数 $x(t)$ 乘以 $cos \:\omega_{0} t$，则其频谱在频率上上下平移 $\omega_{0}$。因此，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那么，根据 CTFT 的调制性质， $$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$证明使用欧拉公式，我们得到， $$\mathrm{cos\:\omega_{0}t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \right ]}$$因此， $$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t=x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]}$$现在，根据傅里叶变换的定义，我们有， $$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega_{0} t} \:dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:cos\:\omega_{0} t\:e^{-j\omega_{0} t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} ... 阅读更多

傅里叶变换对于连续时间函数 $x(t)$，傅里叶变换可以定义为， $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的线性性质陈述 - 傅里叶变换的线性性质指出，两个信号的加权和的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的加权和。因此，如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1}(\omega)\:\:and\:\:x_{2}\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2}(\omega)}$$那么，根据傅里叶变换的线性性质， $$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$其中，a 和 b 是常数。证明根据傅里叶变换的定义，我们有， $$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}ax_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+\int_{−\infty}^{\infty}bx_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=a\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+b\int_{−\infty}^{\infty}x_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$$$\mathrm{\therefore\:F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$或者，它也可以写成， $$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$傅里叶变换的频移性质陈述 - 频率... 阅读更多

傅里叶级数如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为：$$\mathrm{x(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=−\infty}^\infty\:C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出：$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}X(t)e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\:\:… (2)}$$连续时间傅里叶级数的线性性质考虑两个周期信号 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$，它们都是周期为 T 的周期信号，其傅里叶级数系数分别为 $C_{n}$ 和 $D_{n}$。如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$那么，连续时间傅里叶级数的线性性质指出$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$证明根据周期函数傅里叶级数的定义，我们得到：$$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=A\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{1}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\right )+B\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{2}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt \right )\:\:… (3)}$$比较公式 (2) 和 (3)，… 阅读更多

什么是吉布斯现象？吉布斯现象是由亨利·威尔布拉姆于 1848 年发现，然后由 J. 威拉德·吉布斯于 1899 年重新发现。对于具有不连续性的周期信号，如果通过添加傅里叶级数来重建信号，则会在边缘周围出现过冲。这些过冲以阻尼振荡的方式从边缘向外衰减。这被称为吉布斯现象，如下图所示。不连续点处的过冲量与不连续的高度成正比，根据吉布斯，发现它约为不连续高度的 9%，而与... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}\:X(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$傅里叶变换的频域微分性质声明 - 傅里叶变换的频率微分性质指出，在时域中将函数 X(t) 乘以 t 等效于在其频域中对其傅里叶变换进行微分。因此，如果$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那么，根据频率微分性质，$$\mathrm{t\cdot x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\frac{d}{d\omega}X(\omega)}$$证明根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$对上述等式两边关于 ω 求导，得到：$$\mathrm{\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\frac{d}{d\omega}\left [ \int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt \right ]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty} x(t)\frac{d}{d\omega}\left [e^{-j\omega t} \right ]dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty} x(t)(-jt)e^{-j\omega ... 阅读更多