傅里叶变换对于连续时间函数 $x(t)$，傅里叶变换定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{−j\omega t}\:dt}$$单位阶跃函数的傅里叶变换单位阶跃函数定义为：$$\mathrm{u(t)=\begin{cases}1 & for\:t≥ 0\0 & for\:t< 0\end{cases}}$$由于单位阶跃函数不是绝对可积的，因此不能直接求其傅里叶变换。为了求单位阶跃函数的傅里叶变换，我们将单位阶跃函数表示为符号函数的形式：$$\mathrm{u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)=\frac{1}{2}[1+sgn(t)]}$$已知$$\mathrm{x(t)=u(t)=\frac{1}{2}[1+sgn(t)]}$$现在，根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{F[u(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{-j\omega t} dt=\int_{−\infty }^{\infty} u(t)e^{-j\omega t} dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty} \frac{1}{2}[1+sgn(t)]e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{2}\left [ \int_{−\infty }^{\infty} 1 \cdot e^{-j\omega t} dt ... 阅读更多

我们可以使用 Maven 创建一个 Cucumber 项目模板。这可以通过以下步骤完成：步骤 1 - 在 Eclipse 中单击“文件”菜单。然后选择“新建”选项。接下来单击“其他”。步骤 2 - 从 Maven 文件夹中单击 Maven 项目。然后单击“下一步”。步骤 3 - 继续执行后续步骤。步骤 4 - 选择 maven-archetype-quickstart 模板。然后单击“下一步”。步骤 5 - 将 GroupId 添加为 Automation，Artifact Id 添加为 Cucumber，然后继续。步骤 6 - 将创建一个具有 Cucumber 类型项目结构的项目。Cucumber 相关的脚本应该写在 src/test/java 文件夹中。

均方误差 (MSE) 定义为实际值和估计值之间差的平方的均值或平均值。数学上，均方误差为：$$\mathrm{\varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left [ x(t) -\sum_{r=1}^{n}C_{r}g_{r}(t)\right ]^{2}dt}$$$$\mathrm{\varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [ \int_{t_{1}}^{t_{2}}x^{2}(t)dt+\sum_{r=1}^{n}C_{r}^{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt-2\sum_{r=1}^{n}C_{r}\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt\right ]\; ...(1)}$$$$\mathrm{\therefore C_{r}=\frac{\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt}{\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt}=\frac{1}{K_{r}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt\; \; ...(2)}$$$$\mathrm{\therefore \int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt=C_{r}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt=C_{r}K_{r}\; \; ...(3)}$$使用公式 (1) 和 (3)，我们有：$$\mathrm{\varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [\int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{2}(t)dt +\sum_{r=1}^{n}C^{2}_{r}K_{r}-2\sum_{r=1}^{n}C^{2}_{r}K_{r}\right ]}$$$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [\int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{2}(t)dt -\sum_{r=1}^{n}C^{2}_{r}K_{r}\right ]\; \; ...(4)}$$$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [ \int_{t_{1}}^{t_{2}}x^{2}(t)dt-(C_{1}^{2}K_{1}+C_{2}^{2}K_{2}+\cdot \cdot \cdot +C_{n}^{2}K_{n}) \right ]\; \; \cdot \cdot \cdot (5)}$$因此，可以使用公式 (5) 计算均方误差。数值例子矩形函数定义为：$$\mathrm{x(t)=\left\{\begin{matrix} 1\; \; for\, 0< t< ... 阅读更多

可逆系统如果一个系统在其输入和输出之间存在唯一的关系，则该系统称为可逆系统。换句话说，只有当存在一个反向系统，当与原始系统级联时产生等于第一个系统输入的输出时，该系统才被称为可逆系统。可逆系统的框图表示如图 1 所示。数学上，可逆系统定义为：     𝑥(𝑡) = 𝑇−1[𝑦(𝑡)] = 𝑇−1{𝑇[𝑥(𝑡)]}   … 对于连续时间系统     𝑥(𝑛) = 𝑇−1[𝑦(𝑛)] = 𝑇−1{𝑇[𝑥(𝑛)]}   … 对于离散时间系统不可逆系统一个 ... 阅读更多

能量信号当且仅当信号的总能量 E 是有限的，即 0 < 𝐸 < ∞ 时，该信号称为能量信号。对于能量信号，平均功率 P = 0。非周期信号是能量信号的例子。功率信号如果信号的平均功率 P 是有限的，即 0 < 𝑃 < ∞，则该信号称为功率信号。对于功率信号，总能量 E = ∞。周期信号是功率信号的例子。连续时间情况在电路中，信号可以表示电流或电压。考虑一个电压 ... 阅读更多

偶信号如果一个信号关于垂直轴或时间原点对称，即 𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡)；对于所有 𝑡     … 连续时间信号 𝑥(𝑛) = 𝑥(−𝑛)；对于所有 𝑛     … 离散时间信号奇信号如果一个信号关于垂直轴反对称，即 𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡)；对于所有 𝑡     … 连续时间信号 𝑥(−𝑛) = −𝑥(𝑛)；对于所有 𝑛     … 离散时间信号确定信号的偶分量和奇分量连续时间情况并非所有信号都是纯 ... 阅读更多

有界信号幅度为有限值的信号称为有界信号。正弦波是有界信号的一个例子。BIBO 稳定系统如果系统的所有有界输入都产生有界输出，则该系统称为 BIBO 稳定 (或有界输入、有界输出稳定) 系统。BIBO 稳定性判据为了使系统 BIBO 稳定，必要的条件由表达式给出：$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\left | h(t) \right |dt < \infty \; \;}\;\;...(1)$$其中，h(t) 是系统的冲激响应。表达式 (1) 中给出的条件称为 BIBO 稳定性判据。证明考虑一个 LTI (线性时不变) ... 阅读更多

线性系统如果一个系统服从齐次性原理和叠加原理，则称该系统为线性系统。齐次性原理齐次性原理指出，对于输入 x(t) 产生输出 y(t) 的系统，对于输入 ax(t) 必须产生输出 ay(t)。叠加原理根据叠加原理，对于输入 𝑥1(𝑡) 产生输出 𝑦1(𝑡) 且对于输入 𝑥2(𝑡) 产生输出 𝑦2(𝑡) 的系统，对于输入 [𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)] 必须产生输出 [𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡)]。因此，对于连续时间线性系统，[𝑎𝑦1(𝑡) + 𝑏𝑦2(𝑡)] = 𝑇[𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡)] = 𝑎𝑇[𝑥1(𝑡)] + 𝑏𝑇[𝑥2(𝑡)] 此外， ... 阅读更多

线性时不变 (LTI) 系统具有线性和平移不变性这两个基本属性的系统称为线性时不变系统或 LTI 系统。使用 LTI 系统有两个主要原因：数学分析变得更容易。许多物理过程虽然不是绝对的 LTI 系统，但可以用线性和平移不变性的属性来近似。连续时间 LTI 系统LTI 系统总是相对于冲激响应来考虑的。这意味着输入是冲激信号，输出是冲激响应。考虑如图 1 所示的连续时间 LTI 系统框图。在这里，输入到 ... 阅读更多

连续时间信号的乘法两个连续时间信号的乘积可以通过在每个时刻乘以它们的值来获得。考虑图中所示的两个连续时间信号𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)。解释对这两个信号的乘法可以通过考虑不同的时间间隔来进行，如下所示：对于0 ≤ 𝒕 ≤ 1：𝑥1(𝑡) = 3，𝑥2(𝑡) = 2，因此𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) = 3 × 2 = 6对于1 ≤ 𝒕 ≤ 2：𝑥1(𝑡) = 2，𝑥2(𝑡) = 2 + (𝑡 − 1)，因此，𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) = 2[2 + (𝑡 − 1)] = 4 + 4(𝑡 − 1)对于2 ≤ 𝒕 ...阅读更多