证明任何奇数的平方都可以表示为 $4m + 1$ 的形式，其中 $m$ 是某个整数。

已知： 

"任何奇数的平方都可以表示为 $4m\ +\ 1$ 的形式，其中 $m$ 是某个整数。"

要求： 

我们需要证明给定的陈述。

解答

设 $a$ 为任意正整数。

那么，根据欧几里得除法引理

$a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。

这里，$b\ =\ 4$。那么，

$a\ =\ 4q\ +\ r$，其中 $0 \underline{< } r < 4$。

当 $r=0$ 时，

$a=4 q$

$4 q$ 可以被 2 整除。

这意味着，$4q$ 是偶数。

当 $r=1$ 时，

$a=4 q+1$

$(4 q+1)$ 不能被 2 整除。
当 $r=2$ 时

$a=4 q+2$

$=2(2 q+1)$ 可以被 2 整除。

这意味着，

$2(2 q+1)$ 是偶数。

当 $r=3$ 时，

$a=4 q+3$

$(4 q+3)$ 不能被 2 整除。
因此，对于任何正整数 $q$，$(4 q+1)$ 和 $(4 q+3)$ 都是奇数。

$a^{2}=(4 q+1)^{2}$

$=16 q^{2}+1+8 q$

$=4(4 q^{2}+2 q)+1$ 是一个平方数，其形式为 $4 m+1$，其中 $m=(4 q^{2}+2 q)$ 是一个整数。

$a^{2}=(4 q+3)^{2}$

$=16 q^{2}+9+24 q$

$=4(4 q^{2}+6 q+2)+1$ 是一个平方数，其形式为 $4 m+1$，其中 $m=(4 q^{2}+6 q+2)$ 是一个整数。
因此，对于某个整数 $m$，任何奇数的平方都可以表示为 $4 m+1$ 的形式。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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