PEMDAS

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介绍

PEMDAS 指的是涉及多个数学运算的数学表达式的运算顺序。在一个包含多个数学运算符或括号的算术表达式中，为了得到算术表达式的正确结果，需要遵循运算顺序的优先级，PEMDAS 就是一种运算顺序的简写。运算顺序的改变会改变算术表达式的结果。因此，必须严格遵循 PEMDAS 规则才能得到正确的结果。在英国，它被称为 BODMAS；在加拿大，它被称为 BEDMAS；在其他一些地方，它被称为 GEMS 或 GEMDAS。

PEMDAS

PEMDAS 规则定义了在包含多个数学运算符或括号的算术表达式中，运算顺序如下：首先计算括号内的项，然后计算指数项（平方、平方根、立方、立方根等），然后从左到右计算乘法或除法项，最后从左到右计算加法或减法项。如果括号内的项也涉及多个数学运算符，则遵循相同的规则。

以下句子可以帮助你记住 PEMDAS 规则的运算顺序：Please Excuse My Dear Aunt Sally。（请原谅我亲爱的莎莉阿姨）。句中单词的首字母就是 PEMDAS。

下表按 PEMDAS 规则的优先级从高到低列出了所涉及的运算。

PEMDAS	符号	名称
P	[ ] 或 { } 或 ( )	括号
E	$\mathrm{x^{n}\:or\:^{n}\sqrt{x}}$ 其中 x 是数字，n 和 1/n 是指数的阶数	指数
M 或 D	× 或 ÷	乘法或除法
A 或 S	+ 或 −	加法或减法

PEMDAS 规则应用

当算术表达式中包含多个数学运算或括号时，应用 PEMDAS 规则。运算顺序从括号内的项开始，然后是指数项，然后是从左到右的乘法或除法项，最后是从左到右的加法或减法项。如果括号内包含多个数学运算，则对括号内的表达式遵循相同的 PEMDAS 规则，先计算最内层的括号，然后是指数项，然后是从左到右的乘法或除法项，最后是从左到右的加法或减法项。

P → 括号，计算括号内的表达式。大括号 { }、方括号 [ ]、小括号 ( ) 是大多数情况下使用的括号类型。

E → 指数，计算表达式中涉及指数项的部分。这些项通常是幂或根。例如：2³，⁴√16 等。

M 或 D → 乘法或除法，在进行加法或减法之前，从左到右计算表达式中涉及的乘法或除法项。先计算从左到右出现的运算。

A 或 S → 加法或减法，最后从左到右计算表达式中涉及的加法或减法项。先计算从左到右出现的运算。

PEMDAS 与 BODMAS

使用 PEMDAS 或 BODMAS，这两个规则都能对包含多个数学运算或括号的算术表达式得出相同的结果。不同的国家使用不同的名称，但结果都相同。

BODMAS 代表括号、顺序、除法、乘法、加法和减法。当算术表达式中包含多个数学运算或括号时，应用此规则。运算顺序从括号内的项开始，然后是顺序项（幂或根），然后是从左到右的除法或乘法项，最后是从左到右的加法或减法项。如果括号内包含多个数学运算，则对括号内的表达式遵循相同的 BODMAS 规则，先计算最内层的括号，然后是指数项，然后是从左到右的乘法或除法项，最后是从左到右的加法或减法项。

B → 括号，计算括号内的表达式。大括号 { }、方括号 [ ]、小括号 ( ) 是大多数情况下使用的括号类型。

O → 顺序，计算表达式中涉及数字顺序的部分。这些项通常是幂或根。例如：4²，³√8 等。

D 或 M → 除法或乘法，在进行加法或减法之前，从左到右计算表达式中涉及的除法或乘法项。先计算从左到右出现的运算。

A 或 S → 加法或减法，最后从左到右计算表达式中涉及的加法或减法项。先计算从左到右出现的运算。

PEMDAS 和 BODMAS 的区别在于：PEMDAS 中的 P - Parentheses（括号）在 BODMAS 中被称为 B - Brackets（括号）；PEMDAS 中的 E - Exponents（指数）在 BODMAS 中被称为 O - Orders（顺序）；PEMDAS 中的 MD - Multiplication or Division（乘法或除法）在 BODMAS 中被称为 DM - Division or Multiplication（除法或乘法）。

PEMDAS	BODMAS
括号	括号
指数	顺序
乘法	除法
除法	乘法
加法	加法
减法	减法

例题解析

1) 计算 $\mathrm{8\times\:(6\:-\:4)\:+\:9\:\div\:3}$？

答案 - 首先计算括号内的表达式 $\mathrm{6\:-\:4\:=\:2}$

表达式变为

$$\mathrm{8\times\:(6\:-\:4)\:+\:9\:\div\:3\Longrightarrow\:8\times\:2\:+\:9\:\div\:3}$$

接下来计算乘法，然后是除法，表达式变为

$$\mathrm{8\times\:2\:+\:9\:\div\:3\:\Longrightarrow\:16\:+\:9\div\:3}$$

$$\mathrm{16\:+\:9\div\:3\:\Longrightarrow\:16\:+\:3}$$

现在计算加法

$$\mathrm{16\:+\:3\:=\:19}$$

$$\mathrm{8\times\:(6\:-\:4)\:+\:9\div\:3\:=\:19}$$

2) 计算 $\mathrm{3\:+\:(6\:\div\:3\:+\:4\:-\:2)\:\times\:2^{2}}$ ？

答案 - 首先计算括号内的表达式 $\mathrm{6\:\div\:3\:+\:4\:-\:2}$

计算括号内的除法，然后是加法，然后是减法

$$\mathrm{6\div\:3\:+\:4\:-\:2\Longrightarrow\:2\:+\:4\:-\:2\Longrightarrow\:6\:-\:2\:=\:4}$$

$$\mathrm{3\:+\:(6\div\:3\:+\:4\:-\:2)\times\:2^{2}\:=\:3\:+\:4\times\:4}$$

现在计算指数表达式

$$\mathrm{3\:+4\:\times\:2^{2}\:=\:3\:+\:4\times\:4}$$

现在计算乘法

$$\mathrm{3\:+\:4\times\:4\:=\:3\:+\:16}$$

现在计算加法

$$\mathrm{3\:+\:16\:=\:19}$$

$$\mathrm{3\:+\:(6\:\div\:3\:+\:4\:-\:2)\:\times\:2^{2}\:=\:19}$$

结论

在本教程中，我们学习了 PEMDAS 规则、它的应用、BODMAS 规则、PEMDAS 与 BODMAS 的比较，以及一些涉及 PEMDAS 规则的示例。

常见问题

1. BODMAS 的全称是什么？

BODMAS 代表括号、顺序、除法、乘法、加法和减法。

2. PEMDAS 的全称是什么？

PEMDAS 代表括号、指数、乘法、除法、加法和减法。

3. $\mathrm{18\div\:6\:+\:4}$ 的结果是多少？

首先计算除法，然后是加法 $\mathrm{18\:\div\:6\:+\:4\:=\:3\:+\:4\:=\:7}$

4. $\mathrm{2\times\:7\:-\:5}$ 的结果是多少？

首先计算乘法，然后是减法。$\mathrm{2\times\:7\:-\:5\:=\:14\:-\:5\:=\:9}$

5. 在算术表达式中，应该先计算指数形式的表达式还是括号中的表达式？

根据 PEMDAS 规则，应该先计算括号中的表达式，然后是指数形式的表达式。