商

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简介

除法是将（被除数）分成相同数量的份数（除数）。除法在现实生活中随处可见。当一个数除以它本身时，结果为 1。例如：4/4 = 1。当一个数除以 1 时，结果为该数本身。例如：15/1=15。当 0 除以一个数时，结果为 0。例如：0÷14 = 0。当一个数除以 0 时，结果没有意义。例如：7÷0 = 未定义。

除法算法

要除一个数，需要遵循两个步骤 -

步骤1：长除法

长除法用于将一个大整数除以不能再除的较小整数。

步骤2：除法算法

除法算法指出，“设 a、b 为整数，其中 b >0，则存在唯一的整数 q 和 r 使得

• a = b q + r

• $\mathrm{0 \leq r < 0}$

除法中使用了四个主要的术语。它们是被除数、除数、商和余数。

更简单的形式，我们可以将除法算法写成

被除数(a) = (除数 (b) × 商) + 余数

术语	定义	表示
被除数	需要被除的整数。	a
除数	除被除数的整数。	b
商	通过除两个数形成的新整数。	q
余数	不能再被除的整数。	r

商

商这个术语在除法中很常见。商是两个整数相除得到的整数。当一个数除以另一个数且余数为零时，则商为答案。当一个数除以另一个数且有余数时，则商为混合分数中的整数部分，或者它将是一个小数。商可以大于除数或整数 (b)，但小于被除数或整数 (a)。

商作为分数

当一个数除以另一个数时，整数结果为分数。当分数被简化时，如果得到的分数是真分数，则结果为商。如果结果是假分数，则将其转换为混合分数，因为混合分数中的整数部分就是商。要将假分数转换为混合分数，我们需要使用除法算法。

示例

• $\mathrm{3÷5 = \frac{3}{5} (真分数)}$

• $\mathrm{12÷4 = \frac{12}{4}=3 (整数)}$

• $\mathrm{43÷6=7\frac{1}{6}(混合分数)}$

如果一个分数除以另一个分数以找到分数的商，则需要遵循三个步骤 -

步骤 1 - 将分数取倒数，将其改为乘法，并将第二个数的倒数写下来。

步骤 2 - 现在，将分子和分母相乘。

步骤 3 - 求分子和分母的最大公约数以找到最简形式。

得到的结果就是分数的商。

示例：求 $\mathrm{\frac{15}{4}÷\frac{4}{5}}$ 的商

解答

取倒数，

$$\mathrm{\frac{15}{4}÷\frac{4}{5}=\frac{15}{4}\times \frac{5}{4}}$$

将分子和分母相乘

$$\mathrm{\frac{15\times 5}{4\times 4}=\frac{75}{16}}$$

通过求最大公约数简化

(75,16) 的最大公约数 = 1

$$\mathrm{\frac{75\times 1}{16\times 1}=\frac{75}{16}}$$

要将假分数转换为混合分数，可以使用长除法

$$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:4\\\:16)\overline{75}\:\\\:\:\:\:\:\:\:\underline{64}\\\\\:\:\:\:\:\underline{11}}$$

根据除法算法，

$$\mathrm{\frac{被除数}{除数} = 商 +\frac{余数}{除数}}$$

$$\mathrm{=4\frac{11}{16}}$$

商作为小数

小数由整数部分和小数部分组成。小数点将整数和小数部分隔开。

• 小数点后的数字有不同的位值，从十分之一 $\mathrm{(\frac{1}{10})}$、百分之一 $\mathrm{(\frac{1}{100})}$、千分之一 $\mathrm{(\frac{1}{1000})}$ 开始，其值从左到右递增，这部分是小数部分。

• 小数点前的数字有不同的位值，从个位 (1)、十位 (10)、百位 (100)、千位 (1000) 开始，其值从右到左递增，这部分是整数部分。

当两个整数相除时，答案必须是整数，如果不是，则答案将是小数。当一个整数除以另一个整数时，如果它们没有公倍数，则必须在商中添加一个小数点，并在余数中添加 0。

示例：求 16÷3 的商

解答

$$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:5.33\\\:3)\overline{16}\:\\\:\:\:\:\:\underline{15}\\\\\:\:\:\:\:\ 10\\\\\:\:\:\:\:\:\underline{09}\\\\\:\:\:\:\:\:\ 10\\\\\:\:\:\:\:\:\:\underline{09}\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\ 1}$$

当 16÷ 3 时，商为小数 5.33。

要找到商作为当一个小数除以另一个小数时，步骤如下

• 步骤 1：检查除数是否为整数，如果不是，将其转换为整数。

• 步骤 2：乘以 10 的幂去除除数中的小数。

• 步骤 3：乘以相同的 10 的幂到被除数。

• 步骤 4：使用长除法

• 步骤 5：检查商中的小数点与被除数中的一致。

例题

1. 求 12.53÷3.5 的商

解答

要将除数从小数转换为整数，将其乘以 10 的幂。

3.5 ×10¹= 35

现在将被除数乘以相同的 10 的幂，

12.53 × 10¹= 125.3

通过长除法，

$$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:3.58 \\\:35)\overline{125.3}\:\\\:\:\:\:\:\:\:\underline{105}\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\ 203\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{175}\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\ 280\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{280}\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{0}}$$

125.3 除以 35 的商为 3.58

结论

一个数的商是在一个数除以另一个数时的答案，它可以是整数、分数或小数。除法算法用于将假分数转换为混合分数，这有助于在分数中找到整数部分（商）。我们可以获得商作为分数以及小数。

常见问题

1. 什么是余数？

余数是一个部分或数量的一部分，不能再分成更小的部分。在混合分数中，余数将位于分子位置。

2. 什么时候商的值接近 1？

当分子和分母的值相同时，商的值将等于 1。如果分子和分母的值彼此接近，则该值将接近 1。

3. 什么时候商大于 1？

如果被除数的值大于除数的值，则商大于 1。例如：15÷3 = 5，这里 5 大于 1。

4. 当较小的数除以较大的数时，商是什么样的？

当较小的数除以较大的数时，商将小于 1。例如：10÷ 100 = 1÷10 = 0.1，小于 1。

5. 如何找到兼容的商？

一个数的商可以通过找到更接近除数的数来轻松找到。例如，要找到 18÷4 的商，最接近的数是 16。因此，16 是它的兼容数。