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法律研究在信息安全中，为什么我们要使用群、环和域？
群、环和域是抽象代数（或称现代代数）这个数学分支的重要组成部分。在抽象代数中，它关注的是元素集合，并且可以在这些元素上进行代数运算；也就是说，它可以以多种方式组合集合中的两个元素，并得到集合中的第三个元素。
群
群 (G) 用 {G,∙} 表示。它是一个元素的集合，带有一个二元运算 ' ∙ '，满足四个性质。群的性质如下：
封闭性 - 如果 a 和 b 是 G 的元素，则 c = a ∙ b 也是集合 G 的元素。这可以定义为在集合中任意两个元素上使用运算的结果是集合中的另一个元素。
结合律 - 如果 a、b 和 c 是 G 的元素，则 (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)，这意味着在对两个以上元素进行运算时，运算的顺序不影响结果。
单位元 - 对于 G 中的所有 a，都存在 G 中的一个元素 e，使得 e ∙ a = a ∙ e = a。
逆元 - 对于 G 中的每个 a，都存在一个元素 a'，称为 a 的逆元，使得 a ∙ a' = a' ∙ a = e。
如果一个群除了满足上述四个性质外，还满足交换律，则称为阿贝尔群。
交换律 - 对于 G 中的所有 a 和 b，我们有 a ∙ b = b ∙ a。
环 - 环 R 用 {R, +, x} 表示。它是一个元素的集合，带有两个二元运算，称为加法和乘法，对于 R 中的所有 a、b、c，以下公理都成立：
R 关于加法构成一个阿贝尔群，即 R 满足性质 A1 到 A5。在加法群的方法中，它将单位元表示为 0，a 的逆元表示为 -a。
(M1)：乘法封闭性 - 如果 a 和 b 属于 R，则 ab 也在 R 中。
(M2)：乘法结合律 - a(bc)=(ab)c，对于 R 中的所有 a、b、c 成立。
(M3)：分配律 -
a(b+c)=ab + ac，对于 R 中的所有 a、b、c 成立
(a+b)c=ac+bc，对于 R 中的所有 a、b、c 成立
(M4)：乘法交换律 - ab=ba，对于 R 中的所有 a、b 成立。
(M5)：乘法单位元 - R 中存在一个元素 1，使得 a1=1a，对于 R 中的所有 a 成立。
(M6)：无零因子 - 如果 a、b 在 R 中且 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0。
域 - 域 F 用 {F, +, x} 表示。它是一个元素的集合，带有两个二元运算，称为加法和乘法，对于 F 中的所有 a、b、c，以下公理都成立：
F1 是一个整环，即 F 满足公理 A1 到 A5 和 M1 到 M6。
(M7)：乘法逆元 - 对于 F 中除 0 之外的每个 a，都存在 F 中的一个元素 a−1，使得 aa−1 = (a−1)a=1。
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