棱柱的面积

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介绍

棱柱的面积定义为棱柱在三维空间中所包围的总空间量。描述将用于覆盖几何实体的物质的区域称为表面积。在计算几何实体的表面积时，我们将构成实体的所有几何图形的面积加起来。一个图形的体积，以立方单位为单位，表示它可以容纳多少东西。我们可以从图形的体积中了解有关其容量的一些信息。棱柱是一种实体形状，有两个底面——两个平行的全等侧面——由平行四边形形状的侧面连接而成。棱柱有三角形和矩形两种形状。在本教程中，我们将讨论棱柱的面积。

棱柱

• 在几何学中，棱柱是一种多面体，由一个 n 边形底面、一个作为第一个底面的刚性平移副本的第二个底面以及 n 个其他面组成，这些面必须全部为平行四边形，并连接两个底面的对应边。

• 底面被平移到所有与其平行的横截面中。棱柱根据其底面命名，例如，对于具有五边形底面的棱柱，称为五边形棱柱。棱柱体是一类棱柱。

• 单词“棱柱”源于希腊语（Prisma）“锯开的东西”，它首先出现在欧几里得的《几何原本》中，以及许多其他基本的几何术语。“一个由两个相对的、相等且平行的平面所包围的立体图形，其余部分为平行四边形”，这就是欧几里得在第十一卷中对该术语的定义。

棱柱的侧面积

• 棱柱所有侧面的总面积构成侧面积。棱柱的侧面积加上底面积之和等于棱柱的总面积。在大多数情况下，如果未说明“直”或“斜”，则可以假设棱柱为直棱柱。

• 直棱柱侧面积的标准公式为

  L.S.A.=ph,

  其中 p 代表底面的周长，h 代表棱柱的高度。

示例

一个三角形棱柱，其底面宽分别为 6 英寸、8 英寸和 10 英寸，高度为 12 英寸，求其侧面积。

答案

底面周长 = 6 + 8 + 10 = 24 英寸

已知棱柱的高度为 h = 12 英寸

因此，棱柱的侧面积由下式给出：

$$\mathrm{LSA=ph=24×12=288\: 平方英寸}$$

棱柱的表面积

棱柱的总表面积等于其侧面积与其两个底面积之和，等于 2 个底面积 + 侧面积或 2 个底面积 +（底面周长 × 高度）。棱柱有多种形式。用于计算棱柱表面积的公式各不相同，就像不同形式的棱柱的底面一样。要理解各种棱柱表面积背后的概念，请参见下表 -

形状	底面	棱柱的表面积 = 2 × 底面积 + 底面周长 × 高度
三角形棱柱	三角形	bh+(s1+s2+b)H
正方体棱柱	正方形	2a2+4ah
长方体棱柱	矩形	2(lb+bh+lh)
梯形棱柱	梯形	h(b+d)+l(a+b+c+d)
五边形棱柱	五边形	5ab+5bh
六边形棱柱	六边形	6b(a+h)
八边形棱柱	八边形棱柱	4a2 (1+√2)+8aH

已解决示例

1)求等腰梯形棱柱的总表面积，其平行底边分别为 5 厘米和 10 厘米，底边长均为 4 厘米，底高为 3 厘米。

答案

边长之和等于底面的周长。

$$\mathrm{p=5+10+4+4=23cm}$$

由于底面是等腰梯形，其面积为

$$\mathrm{=\frac{1}{2} h(b_1+b_2)=\frac{1}{2}×3×(5+10)=\frac{45}{2}\: 平方厘米}$$

2)求给定棱柱的表面积，其高度为 8 个单位，底面积为 16 个平方单位，底面周长为 24 个单位。

答案

已知棱柱的底面积 = 16，棱柱的底面周长 = 24，棱柱的高度 = 8

我们知道棱柱的表面积由以下公式给出

棱柱的表面积 = 2 × 底面积 + 底面周长 × 高度

棱柱的表面积 = 2(16) + 24 × 8 = 32 + 192 = 224 平方单位

3)求等腰梯形棱柱的总表面积，其平行底边分别为 7 厘米和 14 厘米，底边长均为 6 厘米，底高为 5 厘米。

答案

边长之和等于底面的周长。

$$\mathrm{p=7+14+6+6=33cm}$$

由于底面是等腰梯形，其面积为

$$\mathrm{=\frac{1}{2} h(b_1+b_2)=\frac{1}{2}×5×(7+14)=\frac{105}{2}\: 平方厘米}$$

4)求给定棱柱的表面积，其高度为 10 个单位，底面积为 20 个平方单位，底面周长为 30 个单位。

答案

已知棱柱的底面积 = 20，棱柱的底面周长 = 30，棱柱的高度 = 10

我们知道棱柱的表面积由以下公式给出

棱柱的表面积 = 2 × 底面积 + 底面周长 × 高度

棱柱的表面积 = 2(20) + 30 × 10 = 40 + 300 = 340 平方单位

5)一个三角形棱柱，其底面宽分别为 12 英寸、16 英寸和 20 英寸，高度为 12 英寸，求其侧面积。

答案

底面周长 = 12 + 16 + 20 = 48 英寸

已知棱柱的高度为 h = 12 英寸

因此，棱柱的侧面积由下式给出

$$\mathrm{LSA=ph=48×12=576\: 平方英寸}$$

结论

• 在几何学中，棱柱是一种多面体，由一个 n 边形底面、一个作为第一个底面的刚性平移副本的第二个底面以及 n 个其他面组成，这些面必须全部为平行四边形，并连接两个底面的对应边。

• 在本教程中讨论了各种类型的棱柱，它们基于底面的形状。

• 棱柱的表面积 = 2 × 底面积 + 底面周长 × 高度

常见问题

1. 如何计算棱柱的表面积？

可以使用 SA=2B+Ph 计算棱柱的表面积，其中 SA 代表表面积，B 代表棱柱底面积，P 代表其周长，h 代表其高度。

2. 确定棱柱表面积的两种方法是什么？

表面积是棱柱侧面占据的总面积。可以使用两种方法之一来确定表面积。一种方法是利用侧面积方程。另一种方法是将所有侧面的面积加起来。

3. 哪种棱柱的表面积最小？

在所有类型的棱柱中，立方体的表面积最小。

4. 棱柱有哪三种类型？

根据底面的形状，棱柱有以下类型：三棱柱（具有三角形底面）、立方体（具有正方形底面）、长方体（具有矩形底面）等。

5. 什么构成棱柱的底面？

具有两个平行且全等面的实体称为棱柱。这些被称为棱柱的底面。如果您沿相同方向切割棱柱，使其与这些底面平行，则任何与这些底面平行的棱柱横截面都将具有类似于这些底面的横截面。