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法学二分法
介绍
二分法是一种求根方法，适用于任何已知两个符号相反的值的连续函数。求解不同方程（如简单方程、二次方程）和函数的根的方法有很多种。二分法是求解多项式函数根的一种方法。这种方法非常有趣。
我们首先选择一个可能包含根的区间或范围，然后我们进行二分，并将区间不断细分为多个子区间，直到最终找到根。这种方法的主要思想是找到中点来找到根。二分法在世界各地有很多名称，例如二分法、波尔查诺法等。
二分法
在这种方法中，可能的数值范围或初始点与根或实际点之间的整个距离都被视为线段。此线段被反复二分。这样，包含根的数值范围逐渐减小。让我们考虑一个区间 x，y 和 $\mathrm{f(x)\times\:f(y)<0}$。
在这个区间内，f(x) 是连续的，并且存在另一个点 v 满足
$$\mathrm{v\:\varepsilon\:(x,y),f(v)\:=\:0}$$
用二分法求解多项式根的过程
用二分法求根的不同步骤是
取两个值 x，y 使得 $\mathrm{f(x)>0\:\&\:f(y)<0}$
区间减半是选择另一个点 v 的过程，该点是 x，y 区间的中点。所以 $\mathrm{v\:=\:\frac{x\:+\:y}{2}}$
v 的值将帮助我们求解函数 f(x) 的值。
此函数的根为零。因此，方程 $\mathrm{f(x)\:=\:0}$ 将有助于求解该函数。
如果我们遇到 $\mathrm{f(v)\:\neq\:0}$ 的情况，则需要仔细检查并设置符号。
如果 f(v) 与 f(x) 符号相同，我们将 x 替换为 v，并将 y 保持不变
如果 f(v) 与 f(y) 符号相同，我们将 y 替换为 v，并将 x 保持不变
例题
1) 多项式函数 $z\mathrm{f(x)\:=\:10\:-\:x^{2}}$ 的根是多少？
答案：
给定函数是多项式性质的。因此，在这种情况下必须应用二分法。下表显示了此函数的不同值。
| 1 | a | b | c | f(a) | f(b) | f(c) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | -2 | 5 | 1.5 | 6 | -15 | 7.75 (c to a) |
| 1 | 1.5 | 5 | 3.25 | 7.75 | -15 | -0.5625 (c to b) |
| 2 | 1.5 | 3.25 | 2.375 | 7.75 | -0.5625 | 4.359375 (c to a) |
| 3 | 2.375 | 3.25 | 2.8125 | 4.359375 | -0.5625 | 2.0898438 (c to a) |
| 4 | 2.8125 | 3.25 | 3.03125 | 2.0898438 | -0.5625 | 0.8115234 (c to a) |
| 5 | 3.03125 | 3.25 | 3.140625 | 0.8115234 | -0.5625 | 0.1364746 (c to a) |
| 6 | 3.140625 | 3.25 | 3.1953125 | 0.1364746 | -0.5625 | -0.210022 (c to b) |
| 7 | 3.140625 | 3.1953125 | 3.1679688 | 0.1364746 | -0.210022 | -0.036026 (c to b) |
| 8 | 3.140625 | 3.1679688 | 3.1542969 | 0.1364746 | 0.036026 | 0.0504112 (c to a) |
| 9 | 3.1542969 | 3.1679688 | 3.1611328 | 0.0504112 | -0.036026 | 0.0072393 (c to a) |
因此，我们可以说 $\mathrm{f(x)\:=\:10\:-\:x^{2}\:=\:0;\:x\:=\:3.16227766.}$
所以，𝑥 = 3.16227766 是多项式函数 $\mathrm{f(x)\:=\:10\:-\:x^{2}}$ 的根。
2) 多项式函数 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:-\:3\:=\:0\:,\:x\varepsilon\:[1,2]}$ 的根是多少？
答案：
给定函数是多项式性质的。因此，在这种情况下必须应用二分法。
如果我们将 (1,2) 作为 x 在函数中的值，我们得到 1 − 3 = −2；4 − 3 = 1。
下表显示了此函数的不同值。
| 1 | a | b | c | f(a) | f(b) | f(c) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 1.5 | -2 | 1 | -0.75 (t to a) |
| 2 | 1.5 | 2 | 1.75 | -0.75 | 1 | 0.0625 (c to b) |
| 3 | 1.5 | 1.75 | 1.625 | -0.75 | 0.0625 | -0.359 (c to a) |
| 4 | 1.625 | 1.75 | 1.6875 | -0.3594 | 0.0625 | -0.1523 (c to a) |
| 5 | 1.6875 | 1.75 | 1.7188 | -01523 | 0.0625 | -0.0457 (c to a) |
| 6 | 1.7188 | 1.75 | 1.7344 | -0.0457 | 0.0625 | 0.0081 (c to b) |
| 7 | 1.7188 | 1.7344 | 1.7266 | -0.0457 | 0.0081 | -0.0189 (c to a) |
因此，我们可以说 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:-\:3\:=\:0;\:x\:=\:1.7344.}$
这是因为在第 7 次迭代中，我们得到 [1.7266, 1.7344]。
所以，𝑥 = 1.7344 是多项式函数 $\mathrm{f(x)\:=\:5\:-\:x^{2}}$ 的根。(此处原文有误，应为x² -3=0)
结论
二分法是一种帮助我们求解多项式函数的方法。它使我们能够找到多项式函数的根。我们考虑一条线段，它基本上是初始点和最终点之间的距离。这基本上意味着存在两个点构成一个区间，并且这两个点的函数值是连续的，从图形上来说，是一条简单的直线。我们的任务是反复二分这条线，直到我们找到根。这可以通过找到我们之前考虑的两个点的中点来完成。这个中点将帮助我们求解所考虑的主函数，进而得到该函数的根。
常见问题
1. 如果我们写 $\mathrm{f(a)\:\times\:f(b)<0}$，那么一个人会如何理解这个表达式？
它简单地意味着两个完全不同的函数 f(a) 和函数 f(b) 的乘积小于零。但这只是表面的意思。如果我们深入研究，我们会看到这个表达式的另一个意思是这两个函数必须具有相反的符号，也就是说，它们将位于同一轴的两侧。为了解释这一点，我们知道如果我们将 ‘+’ 与 ‘+’ 相乘，我们将得到另一个正数。同样，将 ‘-’ 和 ‘-’ 相乘会得到一个负结果。只有当函数具有相反的符号时，我们才会得到一个负的乘积，也就是说一个小于零的乘积。
2. 我们都使用了“连续函数”这个术语。但是这个表达式究竟是什么意思？
简而言之，连续函数是指其图形始终为直线，而不是抛物线、双曲线、圆形等的图形。因此，连续函数必须始终满足直线的方程，即 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐。如果存在任何满足函数但不满足直线方程的点，则该函数将被认为是不连续的。在这种情况下，它将不再是连续函数。
3. 我们能否始终使用二分法？它的约束是什么？
不，我们不能总是使用二分法。它仅适用于多项式函数以及连续函数。
4. 我们可以在哪些领域应用二分法以获得最佳结果？
我们可以使用二分法来求解多项式函数的根。
5. 二分法中中间项的重要性是什么？
中间项可能是二分法中最重要的单一因素。如果没有中间项，二分的整个概念就会完全消失，因为二分是指将一条线或一个角分成两等份的东西。因此，二分法完全是关于反复寻找中间项，直到我们最终找到函数的根。
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