将 SSOP 转换为 SPOS 形式

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布尔函数可以用两种形式表示，即：

• 积之和 (SOP) 形式

• 和之积 (POS) 形式

SOP（积之和）形式是指布尔函数表示为积项之和的形式，而在POS（和之积）形式中，布尔函数表示为函数的和项之积的形式。但是，在 SOP 和 POS 形式中，函数的每个项可能不包含所有变量。

例如，考虑一个包含三个变量的布尔函数：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=A\overline{B}+\overline{B}C}$$

这是布尔函数 (f) 的积之和 (SOP) 形式。可以注意到，它在积项中没有包含所有变量，即第一个积项中缺少变量 C，第二个积项中缺少变量 A。

类似地，考虑一个 POS 形式的 3 个变量布尔函数，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}\rgroup+\lgroup \overline{B}+C\rgroup}$$

在这种情况下，第一个项中缺少变量 C，第二个项中缺少变量 A。

有时，我们需要将布尔函数表示为这样一种形式，其中函数的每个项都应包含函数的所有变量。因此，将布尔函数表示为每个项都包含函数所有变量的形式被称为标准形式或展开形式或规范形式。

因此，布尔函数可以用两种标准形式表示：

• 标准积之和 (SSOP) 形式

• 标准和之积 (SPOS) 形式

标准积之和 (SSOP) 形式

标准积之和 (SSOP) 形式是指将布尔函数表示为最小项之和的形式。最小项是布尔函数的积项，其中包含函数的所有变量，这些变量以补或不补的形式出现。

因此，布尔函数的 SSOP 形式也称为展开积之和形式，因为它的每一项都包含函数的所有变量。

例如，考虑一个 SOP 形式的布尔函数，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=A\overline{B}+\overline{B}C}$$

那么，该函数的 SSOP 形式将是：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=A\overline{B}\lgroup C+\overline{C}\rgroup+B\overline{C}\lgroup A+\overline{A}\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\overline{A}B\overline{C}+A\overline{B}\:\overline{C}+A\overline{B}C+AB\overline{C}}$$

这是给定布尔函数的标准积之和 (SSOP) 形式。SSOP 形式的布尔函数也可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=m_2+m_4+m_5+m_6=\sum m \lgroup 2,4,5,6\rgroup}$$

标准和之积 (SPOS) 形式

标准和之积 (SPOS) 形式是指将布尔函数表示为最大项之积的形式。其中，最大项是布尔函数的和项，其中包含函数的所有变量，这些变量以补或不补的形式出现。

因此，布尔函数的 SPOS 形式也称为展开和之积形式，因为函数的每一项都包含所有变量。

例如，考虑一个 POS 形式的布尔函数，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup=\lgroup A+\overline{B}\rgroup\lgroup B+\overline{C}\rgroup}$$

那么，该函数的 SPOS 形式将是：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}+C\overline{C}\rgroup\lgroup A\overline{A}+B+\overline{C}\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+B+\overline{C}\rgroup\lgroup A+\overline{B}+C\rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}\rgroup\lgroup\overline{A}+B+\overline{C}\rgroup}$$

这是给定布尔函数的标准和之积 (SPOS) 形式。布尔函数的 SPOS 形式也可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=M_1.M_2.M_3.M_5=\prod M\lgroup 1,2,3,5\rgroup}$$

现在，让我们讨论如何将 SSOP（标准积之和）形式转换为 SPOS（标准和之积）形式。

将 SSOP 转换为 SPOS 形式

我们可以将布尔函数的 SSOP（标准积之和）形式转换为 SPOS（标准和之积）形式。要将布尔函数从 SSOP 形式转换为 SPOS 形式，我们必须遵循以下两个步骤：

• 交换运算符 Σ 和 Π。

• 列出给定 SSOP 形式中缺少的项。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 0,1,2,5,7\rgroup =m_0+m_1+m_2+m_5+m_7}$$

在这个函数中，最小项 3、4 和 6 缺失。因此，它们将以最大项的形式出现在 SPOS 形式中。

$$\mathrm{\therefore \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 3,4,6\rgroup=M_3.M_4.M_6}$$

通过这种方式，我们可以将布尔函数从 SSOP 形式转换为 SPOS 形式。

我们还可以使用补和德摩根定理将布尔函数从 SSOP 转换为 SPOS 形式，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 0,1,2,5,7\rgroup =m_0+m_1+m _2+m_5+m_7}$$

该函数的补为：

$$\mathrm{\overline{\mathit{f}(A,B,C)} =\sum m\lgroup 3,4,6\rgroup=m_3+m_4+m_6}$$

即，表示为最小项之和的布尔函数的补等于给定布尔函数中缺少的最小项之和。

现在，如果我们应用德摩根定理，$\mathrm{\lgroup \overline{A+B}=\overline{A}.\overline{B} \rgroup}$ 我们将得到以下形式的函数：

$$\mathrm{\mathit{f}(A,B,C)=\overline{m_3+m_4+m_6}=\overline{m_3}.\overline{m_4}.\overline{m_6}= M_3.M_4.M_6}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 3,4,6\rgroup }$$

这是给定布尔函数的 SPOS 形式。

结论

这就是关于将 SSOP（标准积之和）形式转换为 SPOS（标准和之积）形式的所有内容。