梯度下降与正规方程的区别

简介

在理解机器学习中的回归问题时，两种常用的方法是梯度下降和正规方程。虽然这两种方法都旨在找到给定模型的最佳参数，但它们采用不同的方法来实现这一目标。梯度下降是一种迭代优化算法，通过最小化成本函数逐步调整参数，而正规方程则直接给出闭式解。了解这两种方法之间的区别对于选择特定问题的最合适方法至关重要。在本文中，我们将深入探讨梯度下降和正规方程之间的差异，重点介绍它们的优缺点。

梯度下降

它是一种广泛应用于机器学习和数学优化的迭代优化算法。其主要目标是通过迭代调整模型的参数来最小化成本函数。该算法在为线性回归、逻辑回归和神经网络等模型找到最佳参数值方面特别有效。

梯度下降背后的理念是在成本函数景观中沿着最陡下降的方向采取步骤。“梯度”指的是成本函数相对于每个参数的导数。通过计算斜率，该算法确定目标函数中最大增长的方向，然后沿相反方向调整参数以最小化成本。

该方法从用随机或预定义值初始化参数开始。在每次迭代中，该算法计算成本函数，该函数表示预测值与实际值之间的误差。然后计算每个参数的成本函数的斜率。

梯度下降是一种强大的优化策略，它允许模型从数据中学习并找到实现精确预测的最佳参数。

正规方程

正规方程是线性回归中使用的一种闭式解，用于找到最小化平方误差总和的最佳参数。与梯度下降（一种迭代优化算法）不同，正规方程直接给出解，而无需迭代更新。

正规方程背后的理念是取成本函数相对于参数的导数并将其设置为零。通过这样做，我们能够找到满足此条件并最小化成本函数的参数值。

为了获得最佳参数值，正规方程涉及矩阵运算，如矩阵转置和求逆。它通过将设计矩阵的转置与设计矩阵的乘积的逆与设计矩阵的转置和目标值的乘积相乘来直接计算参数。

正规方程对于具有单个自变量的简单线性回归问题特别有用，因为它提供了精确的解。但是，它也可以扩展以处理多个自变量。

虽然正规方程提供了高效且精确的解，但对于大型数据集而言，它在计算上可能代价高昂，因为它需要对矩阵进行求逆，这具有 O(n^3) 的时间复杂度。此外，它特定于线性回归，不能直接应用于其他模型。