卡尔·皮尔逊相关系数

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相关系数

相关系数通常用于统计学中，以衡量两个变量之间的关系。相关性通常表示两个变量（例如 X 和 Y）之间线性关系程度的特定值。统计学中使用了许多类型的相关系数。然而，卡尔·皮尔逊相关系数（也称为皮尔逊 R）是线性回归中最常用的相关系数。

相关系数的类型

根据变量之间关系的方向，相关性可分为三种类型：

• 正相关 (0 到 +1)

• 负相关 (0 到 -1)

• 零相关 (0)

正相关 (0 到 +1)

在这种情况下，X 和 Y 之间两个函数的变化方向或发生方向相同。例如，燃煤量的增加会导致燃煤动力火车中燃烧的电力数量增加。

负相关 (0 到 -1)

在这种情况下，X 和 Y 变量之间的变化方向相反。例如，随着商品价格上涨，其需求下降。

零相关 (0)

在零相关的情况下，变量之间没有关系。例如，食物摄入量的增加不会影响一个人的驾驶能力。

皮尔逊相关系数

卡尔·皮尔逊相关系数是一种常用的数学方法，其中使用数值表示来衡量两个线性相关变量之间关系的程度。相关系数用“r”表示。

实际平均数法

在实际平均数法中，它表示为

$\mathrm{r\:=\:\frac{\sum\:(X\:-\:\bar{X})\:(Y\:-\:\bar{Y})}{\sqrt{\sum\:(X\:-\:\bar{X})^{2}}\:\sqrt{\sum\:(Y\:-\:\bar{Y})^{2}}}}$

其中，$\mathrm{\bar{X}\:=\:X\:变量的平均数}$

$\mathrm{\bar{Y}\:=\:Y\:变量的平均数}$

这种皮尔逊相关的表达方法称为实际平均数法。

假设平均数法

还有一种称为假设平均数法的方法来表达相关系数。假设平均数法表示为

假设平均数法

$\mathrm{d_{x}\:=\:X\:-\:A}$

$\mathrm{d_{y}\:=\:Y\:-\:A}$

$\mathrm{r\:=\:\frac{N\:\sum\:d_{x}\:d_{y}\:-\:(\sum\:d_{x})\:(\sum\:d_{y})}{\sqrt{N\:\sum\:d_x^2\:-\:(\sum\:d_{x})^{2}}\:\sqrt{N\:\sum\:d_y^2\:-\:(\sum\:d_{y})^{2}}}}}$

在这个卡尔·皮尔逊相关公式中：

• dx = x 系列与假设平均数的偏差，其中 (X - A)

• dy = Y 系列与假设平均数的偏差 = (Y - A)

• Σdx.dy 表示多个 dx 和 dy 的总和。

• Σdx² 是 dx 平方和。

• Σdy² 是 dy 平方和。

• Σdx 是 X 系列偏差的总和。

• Σdy 是 Y 系列的总和，并且

• N 是成对观测的数量。

步进偏差法

表示为

$\mathrm{r\:=\:\frac{dX^{'}\:dY^{'}\:-\:\frac{\sum\:d^{'}\:X\:\sum\:d\:Y^{'}}{N}}{\sqrt{(\sum\:d\:x^{1})^{2}\:-\:\frac{(\sum\:d\:x^{1})^{2}}{N}}\:\sqrt{(\sum\:d\:y^{'})^{2}\:-\:\frac{(\sum\:d\:y^{'})^{2}}{N}}}}$

在这个特定的卡尔·皮尔逊方法中：

• dx′=dxC1

• dy′=dyC2

• C₁ = x 系列的公因子

• C₂ = y 系列的公因子

• dx 是 x 系列与假设平均数的偏差，其中 (X - A)

• dy 是 Y 系列与假设平均数的偏差，其中 (Y - A)

• Σdx.dy 表示多个 dx 和 dy 的总和。

• Σdx² 是 dx 平方和。

• Σdy² 是 dy 平方和。

• Σdx 是 X 系列偏差的总和。

• Σdy 是 Y 系列的总和。

• N 是成对观测的数量。

卡尔·皮尔逊相关系数的主要特征

• 相关系数 (r) 没有单位。

• 如果 r 为正值，则表示 X 和 Y 方向相同。

• 如果 r 为负值，则表示 X 和 Y 方向相反。

• 如果 r 的值为 0，则 X 和 Y 不相关。

• r 值越高，表示两个变量之间的线性关系越强。

• r 值越低，表示两个变量之间的关系越弱。

• 如果 r 的值为 +1 或 -1，则两个变量之间的相关性被认为是完美的。

卡尔·皮尔逊相关系数的假设

计算卡尔·皮尔逊相关系数时，必须做出一些假设。

以下是两个主要假设：

• 任何两个变量之间始终存在线性关系。

• 必须将异常值保持在最小范围内或完全去除。

异常值是不常用的数据，与其余数据形成鲜明对比。它可能表示实际上不适合该集合的极端数据。可以通过将数据绘制在图表纸上并查找任何极端研究来发现异常值。异常值不会出现在皮尔逊图上，而是在图表的极端点上发现。

皮尔逊系数的示例

• 当相关系数为 (1) 时，表示相关性为正。也就是说，对于一个变量的每次增加，另一个变量都会以固定的比例正向增加。例如，根据脚的长度变化的鞋码是完美（几乎）相关的例子。

• 相关系数为 (-1) 表示对于一个变量的每次正向增加，另一个变量都会成比例地负向减少。例如，气罐中气体数量的减少与速度呈完美（几乎）反相关。

• 当相关系数为 (0) 时，这两个变量不相关。

何时使用皮尔逊相关系数

当以下所有条件都为真时，皮尔逊相关系数 (r) 是一个不错的选择：

• 两个变量都是定量的：如果任何变量都是定性的，则必须选择不同的方法。

• 变量服从正态分布：可以准备每个变量的直方图，以验证变量的分布是否近似正态。如果变量略微非正态，则没有问题。

• 数据没有异常值：异常值是不遵循与其余数据相同模式的观测值。散点图是检查异常值的好方法——重要的是要查找与其他点距离极其远的点。

• 关系是线性的：“线性”表示两个变量之间的关系或多或少可以用直线表示。如今，可以使用软件检查关系是否线性。

结论

卡尔·皮尔逊相关系数是统计学中研究线性变量回归的主要工具。它在很多方面都对用户有所帮助。由于该研究依赖于线性变量，因此易于使用研究结果。该系数的应用非常广泛，也用于日常生活。为了在制鞋到加油等许多领域获得更好的认识，该系数可以发挥重要作用。因此，所有希望检查双变量研究统计模型的人都应该学习卡尔·皮尔逊相关系数。

常见问题

Q1. 相关系数是什么意思？

A1. 相关系数通常用于统计学中，以衡量两个变量之间的关系。相关性通常表示两个变量（例如 X 和 Y）之间线性关系程度的特定值。

Q2. 计算卡尔·皮尔逊相关系数的假设是什么？

A2. 计算卡尔·皮尔逊相关系数时，必须做出一些假设。

以下是两个主要假设：

• 任何两个变量之间始终存在线性关系。

• 必须将异常值保持在最小范围内或完全去除。