电场中的势能

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引言

本教程的背景设定在一个电场E 和一个外部电源 V 中，其中电荷用 Q 表示。外部电源对电荷的影响，它与电场 E 的关系，以及这些实验的结果值得考虑。电荷试图在电场中保持一个位置，因此获得了势能。我们对电荷在这样的电场中的势能感兴趣。

什么是势能？

• “势”这个词表示某种东西的储存形式。压缩的弹簧中储存着势能。

• 施加在弹簧上的外力导致弹簧压缩并锁定在该位移处，转化为弹簧内部的势能。

• 放置在一定高度的物体由于其高度而存储在其内部的势能。势能储存在物体中。在运动过程中，势能释放为动能。

• 如果 x 是由于外力导致的弹簧的位移，那么储存在弹簧中的势能为 PE=1/2 K x²，其中 K 是弹簧常数。

• 对于一个高度为 h、质量为 m 的物体，如果它掉落到地面并在地面附近获得速度 v，那么我们可以通过公式 mg=1/2mv² 看到势能是如何与动能守恒的。

例题 1

一个弹簧被拉伸到 15 厘米（位移）。弹簧的弹簧常数为 2 N/m。求储存在弹簧中的势能。

答：PE=1/2 K x² =1/2×2×{0.15}²=0.0225=22.5×10^-3 焦耳

例题 2

假设一个球最初位于 200 米的高度。它的重量为 2 公斤。它被直接掉落到地面，并在重力作用下下落。计算球体在最接近地面点处的速度。

答：当球体下落时，PE 转换为KE。在即将撞击地面之前，PE 完全转换为 KE，而 PE 变为零。

PE=mgh=2×10×200=4000 焦耳（g=10m/s²）

$$\mathrm{KE=4000=1/2 m v^2}$$

$$\mathrm{mv^2=8000; v = 63.24 m/s}$$

图解示例

下图显示了势能的释放和守恒，精确到数值。

单个电荷在电场中的势能是多少？

外部电场 E 和外部电势 V 取决于电荷在电场中的位置。在某一点 P，带电粒子的势能是从无限远处将一个带正电的粒子带到该点所做的功。如果 q 是电荷，V 是电势，那么放置带电粒子的努力是 qV。如果 r 是位置矢量，则功将是 qV(r)。

所以 PE = 所做的功 = qV(r)

两个电荷在电场中的势能是多少？

当电场中存在两个电荷时，我们必须考虑两个带电粒子的电势加上一个带电粒子对另一个带电粒子的影响。下面给出了四个电荷的示意图作为参考。在这种情况下，我们只需要考虑 q1 和 q2、E1 和 E2。n 个电荷和 n 个电场的情况以及计算合能量始终具有挑战性。以后再尝试。

第一个电荷 $\mathrm{q_1}$ 在点 $\mathrm{r_1}$ 处所做的功为 $\mathrm{q_1 V(r_1)}$

第二个电荷 $\mathrm{q_2}$ 在点 $\mathrm{r_2}$ 处所做的功为 $\mathrm{q_2 V(r_2)}$

由于 $\mathrm{q_1}$ 对 $\mathrm{q_2}$ 所做的功为 $\mathrm{q_1 q_2/(4\pi \varepsilon_0 r_{12})}$

$\mathrm{q_2}$ 所做的功为 $\mathrm{q_2 V(r_2)+q_1 q_2/(4\pi \varepsilon_0 r_{12})}$

所以 PE = 总功 =$\mathrm{q_1 V(r_1)+q_2 V(r_2)+q_1 q_2/(4\pi \varepsilon_0 r_{12})} $

结论

本教程深入探讨了主题，重点关注带电粒子在外部电场中的势能。提供了足够的示例以方便指导，同时上下文包含相关的公式。作为对后续主题的介绍，提供了关于势能的概念及其与动能的关系以及两者如何根据守恒定律守恒的要点。在电场中放置一个电荷所做的功将是电荷及其位置矢量的函数，这一点得到了强调。在一个单独的部分中分别考虑了两个电荷及其总势能的情况和相应的方程。通过图像提供了 PE 到 KE 的转换，以了解势能在应用中的用途。

常见问题

1. 势能在哪些不同的形式中表现出来？

当材料拉伸或压缩时，会产生弹性势能。橡皮筋、弹簧和弹弓就是例子。电势能是以电荷形式储存的能量。核材料在其原子内部储存势能。车辆的燃料以化学形式储存势能。地球的重力能以物体的等效高度的形式储存为势能。

2. 什么是重力灯？这与势能有什么关系？

重力灯是一种装置，用户需要在袋子中装满一些碎屑并将袋子的绳索连接到灯上。然后，必须手动将袋子提升到一定高度，并将其留给系统，让它以缓慢的速度下降。在袋子移动期间，它会产生能量来点亮灯泡。当袋子在一定高度并带有重量时，它会积累势能，然后将其转换为电能。

3. 电势能的公式是什么？

当电场中存在两个电荷时，以下公式适用 $\mathrm{U_e=k(q_1 q_2/r)}$，其中 k 是库仑常数（8.99×10⁹ Nm² C^-2），r 是电荷 q1 和 q2 之间的距离。

4. 势能的量纲公式是什么？

量纲公式为 M¹ L² T^-2。可以从势能公式 PE = mgh 中看出其推导过程，其中 m 是质量，g 是重力加速度，h 是物体的垂直高度。m 的量纲为 M，g 的量纲为 L¹ T^-2，h 的量纲为 L。组合得到 M¹ L² T^-2。

5. 势能的单位是什么？

势能以焦耳为单位测量。它与 kg m² s^-2 相同。由于 kg m s^-2 是牛顿，所以焦耳可以表示为牛顿米。

6. 势能如何在水坝中得到利用？

由于水储存在水坝中的高度，因此会积聚和储存大量势能。当允许水通过管道向下流动以驱动机械涡轮机发电时，该能量会转换为机械能。使水位降低，这会增加其动能，然后转换为机械运动。