Python程序：求所有因子的因子的个数之和

假设我们有两个整数m和a。现在n = p1(a + 1) *p2(a + 2) *...*pm(a + m)，其中pi是第i个素数，且i > 0。我们需要找到k的值，其中k是n的所有因子的f(x)值之和。这里f(x)是n的每个因子的因子的个数。

因此，如果输入是m = 2，a = 1，则输出为60。

  • 所以，n = 2^2 x 3^3
  • n = 4 x 27
  • n = 108

108的因子是：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108

每个因子的f(x)值是：f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(6) + f(9) + f(12) + f(18) + f(27) + f(36) + f(54) + f(108)

= 1 + 2 + 2 + 4 + 4 + 3 + 5 + 6 + 4 + 9 + 8 + 12

= 60.

为了解决这个问题，我们将遵循以下步骤：

  • MOD := 10^9 + 7
  • 定义一个函数summ()。它将接收n作为参数。
    • 返回((n * (n + 1)) / 2)的向下取整值。
  • 定义一个函数division()。它将接收a, b, mod作为参数。
    • 如果a mod b等于0，则
      • 返回a / b的向下取整值。
    • a := a + mod * division((-a modulo b), (mod modulo b), b)
    • 返回(a / b) modulo mod的向下取整值。
  • mat := 一个包含值1的新列表。
  • 当mat的长度 <= m + a时，执行以下操作：
    • 在mat的末尾插入 (mat的最后一个元素 * summ(len(mat)+1)) mod MOD。
  • 返回division(mat[m + a], mat[a], MOD)。

示例

让我们看下面的实现来更好地理解：

MOD = 10**9 + 7
def summ(n):
   return ((n) * (n + 1)) // 2

def division(a, b, mod):
   if a % b == 0:
      return a // b
   a += mod * division((-a) % b, mod % b, b)
   return (a // b) % mod

def solve(m, a):
   mat = [1]
   while len(mat) <= m + a:
      mat.append((mat[-1] * summ(len(mat)+1)) % MOD)
   return division(mat[m + a] , mat[a], MOD)

print(solve(2, 1))

输入

2, 1

输出

60

更新于：2021年10月20日

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