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法律研究Python - 数论变换
数论变换 (NTT) 是数论领域许多计算应用中的一个关键组成部分。它在加密、信号处理、纠错码等领域至关重要，因为它可以有效地进行大数乘法和卷积运算。NTT 是一种快速计算多项式乘法模素数整数的方法，与快速傅里叶变换 (FFT) 密切相关。
在本文中，我们将探讨两种在 Python 中实现数论变换的不同方法。我们将深入研究 Cooley-Tukey 算法，这是将快速傅里叶变换付诸实践的最流行方法之一。Cooley-Tukey 算法应用分治策略，将一个大问题分解成较小的子问题，并将解决方案组合起来，从而得到最终的转换输出。
通过概述它们的算法、代码示例和输出示例，我们希望提供对这两种方法的理解。在本文结束时，读者将拥有坚实的基础，能够有效地实现数论变换并将其功能应用于他们的计算任务。
方法
为了在 Python 中执行数论变换，我们可以遵循以下两种方法：
使用复数的 Cooley-Tukey 算法。
使用整数的 Cooley-Tukey 算法。
让我们深入了解这两种方法：
方法 1：使用复数的 Cooley-Tukey 算法
Cooley-Tukey 算法是一种众所周知的方法，它利用快速傅里叶变换 (FFT) 方法快速计算离散傅里叶变换 (DFT)。该算法可以被改编为执行 NTT。
算法
在 Python 中执行数论变换的算法如下：
步骤 1 - 导入 cmath 模块。
步骤 2 - 构建一个以数组作为参数的函数。
步骤 3 - 在变量 N 中计算并存储数组的长度。
步骤 4 - 递归计算两个部分。
步骤 5 - 为范围“N/2”内的每个索引 k 计算“T”的旋转因子。
步骤 6 - 将偶数索引元素与其对应的旋转因子相加，并从这些旋转因子中减去偶数索引元素，以确定转换后的值。
步骤 7 - 通过将偶数索引元素与其各自的旋转因子相加，并从其对应的旋转因子中减去偶数索引元素，计算转换后的值。当计算出的转换后的值已连接时，返回结果。
步骤 8 - 通过传递数组作为参数来调用该函数，并显示结果。
示例
#Import cmath module
import cmath
#A Function is created that takes an array as a parameter
def ftt_cooley_tukey(x):
#Compute the length of an array
N = len(x)
#For if the length is equal to 1 return the original array
if N == 1:
return x
# Take even part
evenPart = ftt_cooley_tukey(x[::2])
# Take odd part
oddPart = ftt_cooley_tukey(x[1::2])
#The twiddle factors for T for each index k are computed
T = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * oddPart[k] for k in range(N // 2)]
#Return the transformed value
return [evenPart[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + [evenPart[k] - T[k] for k in range(N // 2)]
#An instance of the input array
example_array = [1, 2, 3, 4]
output = ftt_cooley_tukey(example_array)
print("Approach 1 - Cooley-Tukey FFT Algorithm with Complex Numbers:")
print("Output Array:", output)
输出
Approach 1 - Cooley-Tukey FFT Algorithm with Complex Numbers: Output Array: [(10+0j), (-2+2j), (-2+0j), (-1.9999999999999998-2j)]
方法 2：使用整数的 Cooley-Tukey 算法
Cooley-Tukey 算法已针对整数修改了 NTT 算法，以便在使用模运算的有限域上运行。当处理数论和密码学的应用时，这种方法特别有用，因为计算是在素数整数模下进行的。
算法
在 Python 中执行数论变换的算法如下：
步骤 1 - 导入 numpy 模块。
步骤 2 - 创建一个以数组、原根和素数值作为参数的函数。
步骤 3 - 递归计算偶数和奇数部分。
步骤 4 - 变量 g_squared_mod_p 生成并存储旋转因子 g 的 2 次幂模 p。
步骤 5 - 遍历数组并计算 (factor * odd[i])%p 并将结果存储在 term 中。然后计算 (even[i] + term)% p 的第一个分量并将其赋值给 result[i]。然后计算 (even[i] - term)% p 的第二个分量并将其添加到 result[i + N // 2] 中。将 factor 乘以 g_squared_mod_p 以更新它。
步骤 6 - 返回结果。
步骤 7 - 通过传递所需的参数来调用该函数，并显示结果。
示例
#Import numpy module
import numpy as np
#Create a function that takes an array, primitive root, and prime.
def ntt_cooley_tukey(x, p, g):
N = len(x)
if N == 1:
return x
# Compute odd and even part
evenPart = ntt_cooley_tukey(x[::2], p, (g * g) % p)
oddPart = ntt_cooley_tukey(x[1::2], p, (g * g) % p)
g_squared_mod_p = (g * g) % p
factor = 1
result = np.zeros(N, dtype=int)
# for the N/2 range
for i in range(N // 2):
term = (factor * oddPart[i]) % p
#Compute the first part of the result
result[i] = (evenPart[i] + term) % p
# Compute the second part of the result
result[i + N // 2] = (evenPart[i] - term) % p
# Update the factor by multiplying with g_squared_mod_p.
factor = (factor * g_squared_mod_p) % p
return result
# An array with some values is created
input_array = np.array([1, 2, 3, 4])
prime = 5
primitive_root = 2 # The primitive root for prime 5
output = ntt_cooley_tukey(input_array, prime, primitive_root)
print("Approach 2 - Cooley-Tukey Algorithm with Integers:")
print("Output Array:", output)
输出
Approach 2 - Cooley-Tukey Algorithm with Integers: Output Array: [0 0 3 1]
结论
我们研究了两种在 Python 中将数论变换 (NTT) 算法付诸实践的方法。在第一种方法中，使用 Cooley-Tukey 快速傅里叶变换 (FFT) 对复数进行了变换，而在第二种方法中，使用了素数模下的整数。根据当前挑战的需求，可以使用任何一种方法，因为它具有相对于另一种方法的优势。复数和基于 FFT 的方法提供了一种简单而优雅的解决方案，可以进行快速计算。另一方面，基于整数的方法具有在有限域中运行的优势，这在与数论和密码学相关的应用中特别有利。
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