给定二进制字符串在执行所有可能的K次操作后,集合位计数的平均值
在这个问题中,我们需要找到在对给定字符串执行所有可能的K次操作后,集合位计数的平均值。
解决这个问题可以采用暴力方法,但我们将使用概率原理来克服暴力方法的时间复杂度。
问题陈述 – 我们给定一个整数N,一个包含K个正整数的数组arr[],以及一个长度为N的二进制字符串,其中只包含集合位。我们需要找到在执行所有可能的K次操作后,集合位计数的平均值。在第i次操作中,我们可以翻转给定字符串的任意arr[i]位。
示例
输入 – N = 2,arr[] = {1, 2}
输出– 1
说明– 初始二进制字符串为11。
在第一步中,我们可以翻转第一个字符,字符串将变为01。
在第二次操作中,我们需要翻转任意两位。因此字符串将变为10。
第二个选择可以从第一步翻转第二个字符开始,字符串将变为10。
在当前操作的第二步中,我们需要翻转任意2位,字符串可以是01。
因此,我们有2种选择,最终字符串可以是01或10。
总选择= 2,最终字符串中的总集合位= 2,ans = 2/2 = 1。
输入 – N = 3,arr[] = {2, 2}
输出– 1.6667
说明 – 我们有一个初始字符串为111。
在第一次操作中,我们可以翻转任意2个字符。因此,字符串可以是001、100、010。
在第二次操作中,我们可以翻转从第一次操作得到的最终字符串中的2位。
当我们翻转001的任意2位时,我们得到111、010和100。
当我们翻转100的任意2位时,我们可以得到010、111和001。
当我们翻转010的任意2位时,我们可以得到100、001和111。
因此,我们在最后一次操作中得到了总共9个不同的字符串。
9个字符串中的总集合位= 15,总操作= 9,ans = 15/9 = 1.6667
方法1
在这里,我们将使用概率原理来解决问题。假设在执行i-1次操作后,集合位的平均值为p,关闭位的平均值为q。我们需要计算第i次操作中集合位和关闭位的平均值。
因此,p的更新值可以是p + 新集合位的平均数 - 新关闭位的平均数。
算法
将P初始化为N,因为我们最初有N个集合位,并将Q初始化为0,因为我们最初有0个关闭位。
遍历操作数组。
将prev_p和prev_q初始化为P和Q值。
使用prev_p - prev_p * arr[i] / N + prev_q * arr[i] / N更新P值,这会将翻转为集合位的关闭位的平均数加起来,并移除翻转为关闭位的集合位的平均数
更新Q值。
返回P值。
示例
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; double getAverageBits(int len, int K, int array[]) { // to store the average '1's in the binary string double P = len; // to store the average '0's in the binary string double Q = 0; // Traverse the array array[] for (int i = 0; i < K; i++) { // Initialize the prev_p and prev_q with P and Q, which we got from the previous iteration double prev_p = P, prev_q = Q; // Update the average '1's P = prev_p - prev_p * array[i] / len + prev_q * array[i] / len; // Update the average '0's Q = prev_q - prev_q * array[i] / len + prev_p * array[i] / len; } return P; } int main() { int N = 2; int array[] = {1}; int K = sizeof(array) / sizeof(array[0]); cout << "The average number of set bits after performing the operations is " << getAverageBits(N, K, array); return 0; }
输出
The average number of set bits after performing the operations is 1
时间复杂度 – O(K),其中K是数组的长度。
空间复杂度 – O(1),因为我们不使用任何额外的空间。
在本教程中,我们学习了如何在执行所有可能的K次操作后找到集合位的平均值。在单次选择中,我们需要执行数组中给出的所有操作。