二进制除法

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简介

二进制除法是一种将一个二进制数除以另一个二进制数的方法。二进制数可以像普通数字一样进行四种主要的算术运算：加法、除法、减法和乘法。

二进制除法类似于十进制数的除法，在十进制数中，有 0 到 9 共 10 个数字。而在二进制数中，只有两个数字 0 和 1。长除法是二进制除法中常用的一种重要方法。

定义

二进制数

• “bi”表示“二”，因此，二进制数是一种以 2 为基数的数字系统，用于表示数字。

• 二进制数系统中的数字使用两个数字（在计算机应用中称为位）来表示：0 和 1。它们通常使用下标 2 来表示。

• 每一位都比它右边的位重要两倍。

• 十位上的位是单位位上的位的重要两倍。类似地，百位上的位是十位上的位的重要两倍。

• 例如，$\mathrm{(110)_{2}\:,\:(1010)_{2}}$ 等是二进制数系统中的一些数字。

• 最右边的 1 是最低有效位，最左边的 1 是最高有效位。

如何在二进制数系统中写一个数字？

• 要在二进制系统中写一个数字，请将该数字除以 2，得到商和余数。

• 现在，再次除以商，直到商为零，并记下每次除法的余数，最后将所有余数从最后得到的余数到第一个余数依次写下来。

示例

让我们看看如何将数字 5 转换为二进制数。

• 首先，将数字除以 2，余数为 1，商为 2。

• 现在，再次将商除以 2，余数为 0，商为 1。

• 现在，再次将商除以 2，余数为 1，商为 0。

• 商为零，因此无需再次除以，现在将所有余数从最后得到的余数到第一个余数依次写下来，即 101。

• 因此，$\mathrm{5\:=\:(101)_{2}}$

二进制除法

• 二进制除法是一种将一个二进制数除以另一个二进制数的方法。被除数称为被除数，除数称为除数。

• 二进制除法可以通过长除法或将二进制数转换为十进制数、进行除法运算，并将结果转换为二进制数来完成。

长除法

• 第一步是比较除数和被除数，如果除数大于被除数，则在商中写 0，并将被除数的第二位向下移。

• 如果除数小于被除数，则在商中写 1，并将除数乘以 1，得到被减数，然后将其从被除数的被减数中减去得到余数。

• 将下一位向下移，并继续此过程，直到被除数被除尽。

规则

• 二进制除法遵循与十进制数除法类似的四个规则，当除数为零时，它是无意义的。

• 在二进制数的情况下，只有两个数字 0 和 1。

• 因此，二进制减法中只有四种可能性，它们是

被除数	除数	结果
0	1	0
1	0	无意义
0	0	无意义
1	1	1

与十进制值的比较

将二进制数转换为十进制数

• 给定一个具有 𝑛 位的二进制数，可以通过将最高有效位或最左边的位 (MSB) 乘以 $\mathrm{2^{n\:-\:1}}$，并将 2 的幂每次向右移动一位减 1，以便最低有效位或最右边的位 (LSB) 乘以 2 的 0 次幂，并将所有这些积相加得到十进制数。

• 如果二进制数有 𝑘 位，则其十进制数为

$$\mathrm{=\:MSB\times\:2^{k\:-\:1}\:+\:(k\:-\:1)^{th}bit\:\times\:2^{k\:-\:2}\:+\:.....\:+\:LSB\times\:2^{0}}$$

两个二进制数可以通过将它们转换为十进制数、进行十进制数的除法运算，并将结果转换为二进制数来进行除法运算。

例题

1) $\mathrm{110010\:\div\:101}$?

$$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:1010\\\:101)\overline{110010}\:\:\:\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{101}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:10\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{00}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:101\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{101}\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:00\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{00}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:0}$$

• 除数 101 小于被除数，因此，商为 1，并将除数乘以 1 得到 101，即被减数，然后将其从被除数的被减数 110 中减去得到余数 1。

• 将下一位 0 向下移，现在除数 101 大于被除数 10，因此，在商中写 0，并将下一位 1 移到被除数中。

• 现在，两者相等。因此，乘以 1，余数为零。

• 现在，将最后一位 0 向下移，并将除数乘以零，余数为零。

• 被除数中的所有位都已处理完毕，余数为零，商为 1010。

结论

在本教程中，我们学习了二进制系统、二进制除法、将十进制数转换为二进制数、长除法、二进制除法的规则、与十进制值的比较、将二进制数转换为十进制数以及一些例题。

常见问题

1. 除了长除法之外，二进制除法的过程还有哪些？

除了长除法之外，还可以将被除数和除数转换为十进制数，进行除法运算，并将结果转换为二进制数。

2. 二进制除法的四个规则是什么？

二进制除法的四个规则是：

$$\mathrm{1\div\:0\:=\:无意义\:,\:1\div\:1\:=\:1\:,\:0\div\:0\:=\:无意义\:,\:0\div\:1\:=\:0}$$

3. 如何将十进制数转换为二进制数？

要将十进制数转换为二进制数，请将该数字除以 2，得到商和余数。现在，再次除以商，直到商为零，并记下每次除法的余数，最后将所有余数从先前得到的余数到第一个余数依次写下来。这就是该数字的二进制表示形式。

4. 二进制数中的最低有效位和最高有效位是什么？

最右边的 1 是最低有效位，最左边的 1 是最高有效位。

5. 将二进制数转换为十进制数的公式是什么？

如果二进制数有 𝑘 位，则其十进制数为

$$\mathrm{=\:MSB\times\:2^{k\:-\:1}\:+\:(k\:-\:1)^{th}bit\:\times\:2^{k\:-\:2}\:+\:.....\:+\:LSB\times\:2^{0}}$$