连续电荷分布

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引言：电荷分布

让我们取一根非常轻的杆AB（如图1所示），其质量可以忽略不计，并在其上悬挂三个质量均为‘m’的物体。因此，杆的总质量将为‘3m’。但杆的各个部分的质量并不均匀，有些部分的质量较大，例如CD，而有些部分的质量较小，例如EF。

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图1

这是因为质量只集中在某些部分，这种情况称为离散质量分布。类似地，如果我们取一根杆PQ（如图2所示），其质量在整个杆PQ上均匀分布。现在，无论我们取RS部分还是TU部分，对于相同的长度，质量都保持不变，这种情况称为连续质量分布。

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图2

类似地，如果我们将带电粒子放在质量的位置，那么同样也会有两种类型的分布：

• 离散电荷分布

• 连续电荷分布

在离散电荷分布的情况下，电荷彼此之间保持一定的距离。因此，所有电荷的特性都可以被单独识别。例如，如果有q1、q2、q3……一直到qn的电荷，那么可以使用简单的代数来计算总电荷。此外，我们可以找到每个电荷产生的电场，并借助叠加原理计算总电场。

但在连续电荷分布的情况下，电荷以这样的方式排列，即电荷沿导体均匀分布，并且所有电荷都紧密排列。

连续电荷分布的类型

连续电荷分布有三种类型：

• 线性电荷分布

• 面电荷分布

• 体电荷分布

让我们逐一讨论所有类型的连续电荷分布。

线性电荷分布

如果电荷沿导体的长度（即沿直线）均匀分布，则称为线性电荷分布。例如，沿细直线的电荷分布或沿圆形导线圆周的电荷分布。它用线性电荷密度表示，符号为‘$\mathrm{\lambda}$’，读作兰姆达，可以定义为单位长度上的电荷。它可以写成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:\lambda\:=\:\frac{dq}{dl}}$$

其中，dq是沿小长度dl分布的电荷量。因此，长度‘dl’上的电荷将为：

$$\mathrm{dq \:=\: \lambda.dl}$$

因此，如果我们想要计算沿直线的总电荷‘q’，则它将是线性电荷密度和无限小长度的乘积的积分，可以写成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:q\:=\:\int\:\:\:dq\:=\:\int\:\:\:\lambda. dl}$$

线性电荷密度的单位为$\mathrm{Cm^{-1}}$。图3将显示线性电荷分布的两种情况，第一种是直线上线的线性电荷分布，第二种是圆形导线圆周上的线性电荷分布：

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图3

面电荷分布

如果电荷在任何物体的表面上均匀分布，则称为面电荷分布。此处，表面将表示覆盖的面积。例如，电荷均匀分布在薄板上。它用线性电荷密度表示，符号为‘$\mathrm{\sigma}$’，读作西格玛。因此，面电荷密度可以写成单位面积上的总电荷。它可以写成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:\sigma\:=\:\frac{dq}{dA}}$$

其中，dq是均匀分布在小面积dA上的电荷。因此，dq电荷可以写成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:dq\:=\:\sigma.dA}$$

因此，如果我们想要计算均匀分布在表面上的总电荷，则它将是面电荷密度和小面积的乘积的积分。它可以写成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:q\:=\:\int\:dq\:=\:\int\:\sigma.dA}$$

$\mathrm{\sigma}$的单位为$\mathrm{C.m^{-2}}$

图4将显示面电荷分布的示例：

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图4

体电荷分布

如果电荷在任何物体的体积内均匀分布，则称为体电荷分布。例如，电荷在实心圆柱体或实心球体中均匀分布。它用线性电荷密度表示，符号为‘$\mathrm{\rho}$’，读作罗。因此，体电荷密度可以写成单位体积上的总电荷。它可以写成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:\rho\:=\:\frac{dq}{dV}}$$

其中，dq是均匀分布在小体积dV中的电荷。因此，dq电荷可以写成：

$$\mathrm{dq\:=\:\rho.dV}$$

因此，如果我们想要计算均匀分布在体积内的总电荷，则它将是体电荷密度和小体积的乘积的积分。它可以写成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:q\:=\:\int\:dq\:=\:\int\:\rho.dV}$$

$\mathrm{\rho}$的单位为$\mathrm{C.m^{-3}}$。图5将显示体电荷分布的示例：

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图5

连续电荷分布产生的力

让我们了解如何计算电荷分布对任何其他电荷施加的力。在这里，我们取一个点电荷作为计算力的参考。让我们从线性电荷分布开始：

线性电荷分布产生的力

假设有一根细线，其线性电荷密度为‘$\mathrm{\lambda}$’。让我们取一根小长度的线‘dl’，并带有电荷‘dq’。让我们取一个距离为‘r’的点电荷qo。然后根据库仑定律：

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图6

$$\mathrm{d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.dq}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

如果我们写$\mathrm{dq = \lambda.dl}$，那么我们可以写出上述方程：

$$\mathrm{\Rightarrow\:d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.\lambda.dl}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

面电荷分布产生的力

假设有一张薄片，其面电荷密度为‘$\mathrm{\sigma}$’。让我们取一个小面积‘dS’，并带有电荷‘dq’。让我们取一个距离为‘r’的点电荷qo。然后根据库仑定律：

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图7

$$\mathrm{d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.dq}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

如果我们写$\mathrm{dq = \sigma.dA}$，那么我们可以写出上述方程：

$$\mathrm{\Rightarrow\:d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.\sigma.ds}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

体电荷分布产生的力

假设有一个体积为‘V’、体电荷密度为‘$\mathrm{\rho}$’的物体。让我们取一个小面积‘dV’，并带有电荷‘dq’。让我们取一个距离为‘r’的点电荷qo。然后根据库仑定律：

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图8

$$\mathrm{d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.dq}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

如果我们写$\mathrm{dq = \rho.dV}$，那么我们可以写出上述方程：

$$\mathrm{\Rightarrow\:d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.\rho.dV}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

常见问题解答

Q1. 连续电荷分布是什么意思？

答 - 连续电荷分布意味着电荷在物体上均匀分布。在这种情况下，单位体积或面积或长度上的电荷量将保持不变。

Q2. 线性电荷分布是什么意思？

答 - 如果电荷在线性上或物体长度上均匀分布，则称为线性电荷分布。

Q3. 什么是面电荷分布？

答 - 如果电荷分布在物体的表面或面积上，则称为面电荷分布。

Q4. 什么是体电荷分布？

答 - 如果电荷分布在物体的体积内，则称为体电荷分布。

Q5. 在真空中，一根具有线性电荷密度‘$\mathrm{\lambda}$’、小长度‘dl’的导线对距离为‘r’的点电荷 (qo) 施加的微分力的方程式是什么？

答 - 真空中，一根具有线性电荷密度‘$\mathrm{\lambda}$’的小长度 (dl) 的导线对$\mathrm{q_o}$施加的力将为：

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$$\mathrm{d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.\lambda.dl}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$