小于 n 的无立方数

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无立方数是指没有立方数因子的数。

立方数因子是指一个整数，它是某个整数的立方，并且能够整除该数。

例如，8 是 16 的一个立方数因子，因为 8 是 2 的立方 (2*2*2 = 8)，并且 8 可以整除 16，余数为零。

因此，8 和 16 都不是无立方数。

问题陈述

找到所有小于给定数字 n 的无立方数。

示例

Let's understand the problem with an example.
Let n = 15,
Thus, we have to find all the numbers less than 15 that are cube-free.
The solution will be:  2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13,14.
For another example,
Let n = 20.
The numbers are 2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19.

解释

注意列表中没有 1、8 和 16。因为 1 和 8 本身就是立方数，而 16 是 8 的倍数。

解决这个问题有两种方法。

方法 1：暴力法

暴力法如下：

• 遍历所有小于 n 的数字。

• 对于每个数字，遍历其所有因子。

• 如果数字的任何因子是立方数，则该数字不是无立方数。

• 否则，如果数字的任何因子都不是立方数，则它是一个无立方数。

• 打印该数字。

示例

此方法的程序如下：

下面是一个 C++ 程序，用于打印所有小于给定数字 n 的无立方数。

#include<iostream>
using namespace std;
// This function returns true if the number is cube free.
// Else it returns false.
bool is_cube_free(int n){
   if(n==1){
      return false;
   }
   //Traverse through all the cubes lesser than n
   for(int i=2;i*i*i<=n ;i++){
      //If a cube divides n completely, then return false.
      if(n%(i*i*i) == 0){
         return false;
      }
   }
   return true;
}
int main(){
   int n = 17;
   cout<<"The cube free numbers smaller than 17 are:"<<endl;
   //Traverse all the numbers less than n
   for(int i=1;i<n;i++){
      //If the number is cube free, then print it.
      if(is_cube_free(i)){
         cout<<i<<" ";
      }
   }
}

输出

The cube free numbers smaller than 17 are:
2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15

方法 2：埃拉托色尼筛法

解决此问题的有效方案是使用埃拉托色尼筛法的概念。

它用于查找小于给定限制的所有素数。在这里，我们将筛选出不是无立方数的数字以获得我们的解决方案。

方法如下：

• 创建一个大小为 n 的布尔列表。

• 将所有数字标记为真。这意味着我们目前已将所有数字标记为无立方数。

• 遍历所有小于 n 的可能的立方数。

• 遍历小于 n 的立方数的所有倍数。

• 在列表中将所有这些倍数标记为假。这些数字不是无立方数。

• 遍历列表。打印列表中仍然为真的数字。

• 输出将包含所有小于 n 的无立方数。

示例

此方法的程序如下：

下面是一个 C++ 程序，使用埃拉托色尼筛法打印所有小于给定数字 n 的无立方数。

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

//Find which numbers are cube free and mark others as false in the vector.
void find_cube_free(vector<bool>&v, int n){
   //Traverse through all the numbers whose cubes are lesser than n
   for(int i=2;i*i*i<n;i++){
      
      //If i isn't cube free, it's multiples would have been marked false too
      if(v[i]==true){
         //Mark all the multiples of the cube of i as not cube free.
         for(int j=1;i*i*i*j<n;j++){
            v[i*i*i*j] = false;
         }
      }
   }
}
int main(){
   int n = 15;
   
   //Vector to store which numbers are cube free
   //Initially, we set all the numbers as cube free
   vector<bool>v(n,true);
   find_cube_free(v,n);
   cout<<"The cube free numbers smaller than are:"<<endl;
   
   //Traverse the vector and print the cube free numbers
   for(int i=2;i<n;i++){
      if(v[i]==true){
         cout<<i<<" ";
      }
   }
}

输出

The cube free numbers smaller than are:
2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14

本文解决了查找小于 n 的无立方数的问题。我们看到了两种方法：一种是暴力法，另一种是使用埃拉托色尼筛法的有效方法。

两种方法都提供了 C++ 程序。