面积的维度

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引言

面积的维度在测量过程中起着重要作用。测量是科学中最有价值的部分。它对生活也很重要。测量在我们的生活中起着至关重要的作用。它是所有技术发展的基础。测量精度在科学中更为重要。计量学是将任何物理量与标准量进行比较。测量方法本质上是测量一个量，它总是与一个标准量进行比较。单位定义为具有根据规则或转换接受的确定数值的物理量。在早期，不同的国家使用不同的单位系统。但在第二次世界大战结束时，需要一个全球性的单位系统。

量纲分析

• 所有物理量都由一组七个基本量来描述。这七个基本维度是物理世界的维度。

• 量纲用方括号[ ]表示。在力学中，有三个维度：长度的维度[L]，质量的维度[M]和时间的维度[T]。

• 在电化学中，电流的维度是[A]，在热力学中，温度的维度是[K]，在光学中，光强的维度是[cd]或[Φ]，物质体积的维度是[mol]。

量纲分析的应用

• 此方法用于将物理量从一个测量单位转换为另一个测量单位。

• 它用于检查给定的方程在量纲上是否正确。

• 此方法基于这样一个原理：数量的数值 (n) 乘以其单位 (u) 是一个常数。

$$\mathrm{n[u]=constant}$$

$$\mathrm{或}$$

$$\mathrm{n_1[u_1]=n_2[u_2]}$$

• 假设一个物理量具有质量的维度'a'，长度的维度'b'和时间的维度'c'。

• 如果一个测量单位的基本单位是M₁、L₁和T₁，另一个单位的基本单位分别是M₂、L₂和T₂，则

$$\mathrm{n_1 [M_1^a L_1^b T_1^c]=n_2 [M_2^a L_2^b T_2^c]}$$

• 由此，可以将物理量的数值从一个测量单位转换为另一个测量单位。

基本量及其量纲

• 物理量的量纲是基本量量纲的增强步骤，以获得物理量的量纲。

  $$\mathrm{例如，速度\:=\frac{位移}{时间}=\frac{[L]}{[T]}=[M^0 LT^{-1}]}$$

• 因此，速度的维度具有零质量维度，1长度维度和-1时间维度。

• 量纲项是一个方程，它告诉我们哪些基本维度用于指定物理量以及如何指定。

  $$\mathrm{例如，[M^0 LT^{-2}]是加速度的量纲表达式。}$$

• 描述物理量量纲公式的方程称为量纲方程。

• 根据量纲，物理量可以分为四类。

量纲变量

• 任何具有量纲和不同值的物理量都称为量纲变量。

  例如：面积、体积、速度等。

无量纲变量

• 任何无量纲但具有不同值的物理量都称为无量纲变量。

  例如：对比度、应变、折射率等。

量纲常数

• • 任何相对于维度具有恒定值的物理量都称为量纲常数。

  例如：普朗克常数和引力常数等。

无量纲常数

• 如果一个常数是无量纲的，则称为无量纲常数。

  例如：π、e（欧拉数）等

面积的维度

• 面积是衡量二维表面或形状在表面上展开的多少的度量。

$$\mathrm{矩形面积=长\times宽}$$

$$\mathrm{∴ A=[M^0 L^1 T^0 ]×[M^0 L^1 T^0 ]=[M^0 L^2 T^0 ]}$$

$$\mathrm{A=[L^2 ]}$$

解题示例

1.用量纲法将76厘米汞柱压力转换为Nm^-2。

解：

CGS方法中76厘米汞柱压力

$$\mathrm{P_1= 76 \times 13.6\times 980\: 达因 \:\:cm^{-2}}$$

$$\mathrm{压力的量纲公式\: [ML^{-1} T^{-2}]}$$

$$\mathrm{P_1 [M_1^a L_1^b T_1^c]=P_2 [M_2^a L_2^b T_2^c]}$$

$$\mathrm{P_2=P_1 [\frac{M_1}{M_2} ]^a [\frac{L_1}{L_2} ]^b [\frac{T_1}{T_2} ]^c}$$

$$\mathrm{M_1=1g; M_2=1kg}$$

$$\mathrm{L_1=1cm\:\:;\: L_2=1m}$$

$$\mathrm{T_1=1s\:\:\:; T_2=1s}$$

因此a=1，b=-1，c=-2

$$\mathrm{P_2=76 \times 13.6\times 980 [\frac{1g}{1kg}]^1 [\frac{1cm}{1m}]^{-1} [\frac{1s}{1s}]^{-2}}$$

$$\mathrm{P_2=76 × 13.6× 980 [\frac{10^{-3} kg}{1kg}]^1 [\frac{10^{-2} m}{1m}]^{-1} [\frac{1s}{1s}]^{-2}}$$

$$\mathrm{P_2=76 × 13.6× 980 ×[10^{-3} ]\times 10^2}$$

$$\mathrm{P_2=1.01\times 10^5\: Nm^{-2}}$$

2.用量纲分析法验证方程$\mathrm{\frac{1}{2} mv^2=mgh}$在量纲上是否正确

$$\mathrm{\frac{1}{2} mv^2的量纲公式=mgh=[M] [LT^{-1} ]^2=[ML^2 T^{-2}] }$$

$$\mathrm{mgh的量纲公式=[M][LT^{-2} ][L]=[ML^2 T^{-2}]}$$

$$\mathrm{∴[ML^2 T^{-2}]=[ML^2 T^{-2}]}$$

两边量纲相等。因此，方程$\mathrm{\frac{1}{2} mv^2=mgh}$在量纲上是正确的。

结论

计量学是将任何物理量与它的标准量进行比较。测量是科学中最有价值的部分。它对生活也很重要。测量在我们的生活中起着至关重要的作用。单位定义为具有根据规则或转换接受的确定数值的物理量。所有物理量都由一组七个基本量来描述。这七个基本维度是物理世界的维度。它用于检查给定的方程在量纲上是否正确。面积是衡量二维表面或形状在表面上展开的多少的度量。

常见问题

1. 定义量纲齐次性原理

根据该原理，等式中每个元素的量纲都相同。例如，在方程v²=u²+2as中，v²、u²和2as的大小相同，都等于[L² T^-2]。

2. 量纲分析的局限性是什么？

• 此方法无法确定给定量是矢量量还是标量量。

• 无法找到包含三角函数、指数函数和对数函数的方程的相关性。

• 此方法不能用于包含三个以上物理量的方程。

• 通过此方法，可以验证方程在量纲上是否正确，但无法找到其正确的方程。

3. 什么是单位换算？

单位换算指的是将物理量的单位从一个单位更改为另一个单位的过程。为了简化计算，需要单位换算来表达结果。

4. 螺旋测微器和游标卡尺是什么？

• 螺旋测微器是一种精确到百分之一毫米（0.01毫米）的测量仪器。该仪器可以测量细金属丝的直径、薄金属板的厚度等。

• 通常，可以使用游标卡尺计算各种物体的尺寸。计算物体的长度、宽度和高度后，即可计算物体的体积。

5. 解释单位换算的步骤

• 首先选择要转换的单位。所选择的要转换的单位称为起始单位。

• 选择要转换成的所需单位。此单位称为所需单位。

• 找到合适的单位转换因子。

• 找到因子后，应用数值计算以找到所选单位的相同值。结果，所需单位值和所选单位值必须相等。

6. 什么是基本单位和导出单位？

用于测量基本量的单位称为基本单位，而通过基本单位的适当乘法或除法获得的用于测量其他物理量的单位也称为导出单位。