爱因斯坦场方程

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引言

爱因斯坦场方程（“EFE”）的重要性极其重大，需要对其中每一个元素都有透彻的理解。爱因斯坦方程是爱因斯坦场方程的另一个名称。这个方程组由十个方程组成，它源于阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论。

本教程旨在呈现EFE简洁、清晰、简单的逻辑，同时也力求全面，以便任何普通数学家都能通过阅读本教程来理解EFE。在本教程中，我们将介绍爱因斯坦场方程、度规张量、爱因斯坦张量、爱因斯坦张量的性质、宇宙常数以及爱因斯坦场方程的实际应用。

爱因斯坦场方程

根据相对论，爱因斯坦场方程对应于时空几何点。它由其中物质的分布决定。爱因斯坦于1915年提出了这个方程。它采用张量方程的形式，将时空曲率与能量、动量和应力联系起来。这个张量方程是十个不同方程组合的结果。它将引力描述为由质量和能量引起的时空曲率的结果。它由特定时间和空间点上的时间和空间曲率决定。在那一点上，它也与动量和能量有关。麦克斯韦方程将电磁场与电荷和电流的分布联系起来，就像爱因斯坦场方程将质量-能量、动量和应力与时空几何联系起来一样。这些方程的解是度规张量的分量，它指定了时空几何。然后可以使用几何方程来计算这些粒子的路径。

由于度规张量和爱因斯坦张量之间的关系，爱因斯坦场方程可以写成一系列非偏微分方程。

Tokamac，单面时空曲率，CC BY-SA 4.0

根据爱因斯坦场方程，二维橡胶片模型的弯曲时空。正质量（蓝色）和负质量（红色）共享四维超曲面的同一“侧”。

爱因斯坦场方程为

$$\mathrm{G_{\mu v}=8\pi GT_{\mu V}}$$

G = 牛顿常数

$\mathrm{G_{\mu v}=R_{\mu v}-\frac{1}{2}Rg_{\mu v}}$ 是爱因斯坦张量，它是时空曲率的度量。

$\mathrm{T_{\mu v}}$ 是能量-动量张量。

$\mathrm{g_{\mu v}}$ 是度规张量。

$\mathrm{R_{\mu v}}$ 里奇张量

度规张量

在弯曲时空的情况下，度规张量实际上是克罗内克尔δ的替代。

在狭义相对论中，不变量为：

$$\mathrm{d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=n_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$$

相对性原理指出，总存在一个降落坐标系$\mathrm{\xi ^{\alpha }}$，其中$\mathrm{\frac{d\xi ^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}$消失。在另一个坐标系$\mathrm{x^{\mu }}$中，不变量变为

$$\mathrm{d\tau ^{2}=n_{\alpha \beta }\frac{\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}dx^{\mu }\frac{\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{v }}dx^{v }=g_{\mu v}dx^{\mu }dx^{v}}$$

其中$\mathrm{g_{\mu v}=\frac{\partial \xi ^{\alpha }\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\mu }\partial x^{v}}\eta _{\alpha \beta }}$是度规张量。

爱因斯坦张量

爱因斯坦张量没有散度，是对称的，并且它们与度规张量gab及其一阶和二阶导数是伴随的。在四维空间中，度规张量和爱因斯坦张量是唯一具有这些性质的张量，它们的数量关键取决于空间的维数。

爱因斯坦张量是

$$\mathrm{G_{\mu v}=R_{\mu v}-\frac{1}{2}Rg_{\mu v}}$$

爱因斯坦张量的性质

• 当时空是平坦的时，它消失。

• 它由黎曼张量和度规张量组成。

• 这种类型的张量与使用黎曼张量和需求度量构造的其他张量不同。

• 它是对称的并且在黎曼张量中是线性的。

宇宙常数

您可能已经注意到，可以向爱因斯坦场方程添加一个与$\mathrm{T_{\mu v}}$的局部守恒一致的项。对于某个常数$\mathrm{\Lambda}$，这是一个$\mathrm{\Lambda g_{\mu v}}$形式的项。因为度规的协变导数为零，所以将其添加到左侧不会影响局部守恒。该项被称为宇宙常数。

爱因斯坦引入$\mathrm{\Lambda}$的最初动机是意识到他的方程中没有解代表静态宇宙学（在大的尺度上不随时间变化的宇宙）且具有非零物质含量。事实上，当时人们认为宇宙是静态的。当宇宙常数精确调整时，可以找到静态解，但它对小的扰动是不稳定的。

几年后，哈勃证明了宇宙正在膨胀，因此不是静态的（如果宇宙常数不包含在内，爱因斯坦方程会预测这一点；爱因斯坦称之为“他一生中最大的错误”）。由于这一发现，爱因斯坦否定了他的建议。

爱因斯坦场方程的实际应用

• 由于卫星在地球上空的高度，您手机中的GPS依赖于相对论时间校正。（它们也需要速度校正，但这些可以从狭义相对论推导出来，而无需求助于场方程。）

• 计算水星的相对论进动。这个后验预测是广义相对论迅速被接受的关键因素。

• 另一个例子是GPS建模以及计算LAGEOS和引力探测器B的轨道。因为极其巨大的物体周围的引力很简单，所以完整的广义相对论公式非常有效（并且是必要的），适用于黑洞和中子星。

结论

根据相对论，爱因斯坦场方程对应于时空几何点。它由其中物质的分布决定。爱因斯坦于1915年提出了这个方程。它采用张量方程的形式，将时空曲率与能量、动量和应力联系起来。这个方程组由十个不同方程组成，它源于阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论。在本教程中，我们介绍了爱因斯坦场方程、度规张量、爱因斯坦张量、爱因斯坦张量的性质、宇宙常数以及爱因斯坦场方程的实际应用。

常见问题

Q1. 爱因斯坦场方程关联了哪些两个方面？

A1. 爱因斯坦场方程 (EFE) 在广义相对论中关联了时空的几何形状及其内部物质的分布。

Q2. 为什么爱因斯坦方程是非线性的？

A2. 爱因斯坦场方程是非线性的，因为质量会影响它们存在的空间的几何形状。这就是质量弯曲时空几何形状的根本见解，而时空几何形状告诉质量如何运动。

Q3. 爱因斯坦场方程是否为微分方程？

A3. 爱因斯坦的广义相对论场方程是十个具有四个独立变量的非线性偏微分方程。尽管它被重新表述为自耦合积分方程，但这个复杂的系统通常无法积分。

Q4. 爱因斯坦是如何得到他的场方程的？

A4. 爱因斯坦采取了两个启发式和物理意义上的步骤。第一步是从几何上获得真空场方程。接下来，从存在物质的场方程推导出没有物质的场方程。

Q5. 爱因斯坦常数究竟是什么？

A5. 它是阿尔伯特·爱因斯坦暂时添加到他广义相对论方程中的一个项的常数系数，通常用希腊大写字母 lambda 表示。该项通常被称为爱因斯坦的宇宙常数或爱因斯坦常数。

Q6. 度规是张量吗？

A6. 度规张量是张量场的例子。每当坐标系发生变化时，度规张量分量都会协变地转换为对称矩阵。度规张量是协变对称张量。