使用Cayley-Hamilton定理在MATLAB中求解方阵的逆矩阵

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让我们从简要讨论“什么是方阵的逆矩阵”和“Cayley-Hamilton定理的重要性”开始本教程。

什么是方阵的逆矩阵？

在线性代数中，有一个基本概念叫做方阵的逆矩阵。考虑一个方阵‘A’，那么将存在另一个方阵‘A^-1’，使得A.A^-1 = I，其中I是单位矩阵。这里，A^-1被称为方阵A的逆矩阵。

需要注意的是，对于给定的方阵，只有当它的行列式不为零时才能找到逆矩阵。可以计算逆矩阵的矩阵也称为非奇异矩阵，而无法直接计算逆矩阵的矩阵称为奇异矩阵。

矩阵逆矩阵的计算在求解线性方程组中起着至关重要的作用。它在工程、计算机图形学、仿真等各个领域都有应用。

Cayley-Hamilton定理

Cayley-Hamilton定理是线性代数中的一个基本定理，用于寻找方阵与其特征方程之间的关系。

根据Cayley-Hamilton定理，任何方阵A都满足其自身的特征方程，当它在矩阵本身进行计算时。

数学上，如果A是一个方阵，p(x)是其特征方程，则

p(A) = 0

其中，0是与矩阵A同阶的零矩阵。

矩阵A的特征方程由下式给出：

$$\mathrm{p(x)=|A−xI|}$$

这里，“x”是一个标量变量，“I”是方阵“A”的单位矩阵。

使用Cayley-Hamilton定理求解方阵逆矩阵的步骤

这里解释了使用Cayley-Hamilton定理求解方阵逆矩阵的分步过程

步骤 (1) – 首先，计算给定方阵A的特征方程，即

$$\mathrm{p(x)=|A−xI|}$$

其中，“I”是方阵A的单位矩阵。

步骤 (2) – 通过用方阵A替换特征方程p(x)中的变量“x”，得到矩阵方程p(A)。

步骤 (3) – 通过求解矩阵方程p(A)得到零矩阵，即

p(A)=0

其中，0是与方阵A大小相同的零矩阵。

步骤 (4) – 写出矩阵方程，即

$$\mathrm{A.A^{-1}=I}$$

其中，A^-1是方阵A的逆矩阵。

步骤 (5) – 通过执行矩阵运算求解矩阵方程，以得到逆方阵A^-1。

这就是使用Cayley-Hamilton定理求解方阵逆矩阵所涉及的所有步骤。

在概述了方阵的逆矩阵和Cayley-Hamilton定理之后，现在让我们讨论如何在MATLAB中使用Cayley-Hamilton定理求解方阵的逆矩阵。

在MATLAB中使用Cayley-Hamilton定理求解方阵的逆矩阵

以下MATLAB中的示例程序演示了如何在MATAB中使用Cayley-Hamilton定理求解方阵的逆矩阵。

示例

% MATLAB code to find Inverse of Sq. Matrix using Cayley Hamilton Theorem
% Create a sample square matrix
A = [1, 4, 2; 4, -5, 6; 3, 2, -9];

% Calculate coefficients of characteristic equation of matrix A
c = poly(A);

% Calculate number of coefficients in characteristic equation of matrix A
n = length(c);

% Initialize the inverse matrix
inv = c(1) * A^(n-2);

% Apply Cayley Hamilton theorem to calculate the inverse matrix A
for i = 2:n-1
    inv = inv + c(i) * A^(n-i-1);
end

% Verify that |A| = 0 or not
if round(c(n)) == 0
    disp('The square matrix A is a singular matrix and its inverse does not exist.')
else
    inv = inv / (-c(n));
    disp('The inverse of square matrix A:')
    disp(inv)
end

输出

The inverse of square matrix A:
   1.1186e-01   1.3559e-01   1.1525e-01
   1.8305e-01  -5.0847e-02   6.7797e-03
   7.7966e-02   3.3898e-02  -7.1186e-02

示例

现在，让我们考虑另一个示例，在这个示例中，我们将尝试求解奇异方阵的逆矩阵，并查看结果。

% MATLAB code to find Inverse of Sq. Matrix using Cayley Hamilton Theorem
% Create a sample square matrix
A = [1, 2, 3; 2, 4, 6; 3, 6, 9];

% Calculate coefficients of characteristic equation of matrix A
c = poly(A);

% Calculate number of coefficients in characteristic equation of matrix A
n = length(c);

% Initialize the inverse matrix
inv = c(1) * A^(n-2);

% Apply Cayley Hamilton theorem to calculate the inverse matrix A
for i = 2:n-1
    inv = inv + c(i) * A^(n-i-1);
end

% Verify that |A| = 0 or not
if round(c(n)) == 0
    disp('The square matrix A is a singular matrix and its inverse does not exist.')
else
    inv = inv / (-c(n));
    disp('The inverse of square matrix A:')
    disp(inv)
end

输出

The square matrix A is a singular matrix and its inverse does not exist.

结论

在本教程中，我们讨论了如何在MATLAB中使用Cayley-Hamilton定理求解方阵的逆矩阵。为了更好地理解，我们用适当的示例解释了理论概念。