热容：Cp 和 Cv 之间的关系

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介绍

热容或热容量是指改变物体温度 1 个单位所需的热量。热容是材料的内在属性，也可以描述为系统吸收热量与温度变化的比率。

定义热容

当物体吸收热量时，温度升高；当释放热量时，温度下降。物体的温度衡量的是构成该物体的组分的总动能。当物体吸收热量时，它会转化为粒子组分的动能，导致温度升高。因此，温度变化与热传递成正比。

使 1 摩尔任何物质的温度发生 ΔT 变化所需的热量 Q 由公式 Q=mCΔT 表示。这里的常数 C 称为物体的摩尔热容。因此，任何物体的摩尔热容被定义为使 1 摩尔该物体的温度改变 1 个单位所需的热能。它取决于系统的类型、大小和组成。

什么是热容 C、Cp 和 Cv？

比热容 (C)

任何材料的比热容被定义为“使单位质量的材料温度改变 1 度所需的热量”。

Q=mCΔT

因此，比热容 C=Q/mΔT

它的单位是焦耳每开尔文千克，或 J/(KgK)

恒压 (Cp)

摩尔恒压热容或 Cp 定义为在恒定压力下，单位质量的材料在温度发生变化时产生的或吸收的热能。

在持续压力下，δQ=dU+PdV（等压过程）

Cp 可以表示为 -

$$\mathrm{Cp=[dH/dT]p}$$

其中

Cp 表示恒压比热。

dH 表示焓变。

dT 表示温度变化。

恒容 (Cv)

摩尔恒容热容缩写为 Cv，是指在恒定体积下，物体在温度发生微小变化时，每单位质量释放/吸收的热量。

在恒定体积下，dV=0，δQ=dU（等容过程）

Cv 可以写成 -

$$\mathrm{Cv=[dU/dT]v}$$

其中，

Cv 是恒定体积下的比热，而 dU 是系统内能的微小变化。

Cp 和 Cv 之间的关系

热力学第一定律指出

Q=nCmΔT......(1)

方程 1 在恒定压力 P 下变为

$$\mathrm{qP=nCpΔT}$$

此值等于焓变，即

qP=nCpΔT=ΔH......(2)

类似地，在恒定体积 V 下，

$$\mathrm{qV=nCvΔT}$$

此值等于内能的变化，即

qV=nCvΔT=ΔU......(3)

1 摩尔 (n=1) 理想气体，

$$\mathrm{ΔH=ΔU+Δ(PV)}$$

$$\mathrm{ΔH=ΔU+Δ(RT)}$$

重新排列前面的方程得到

$$\mathrm{ΔH=ΔU+RΔT}$$

因此，ΔH=ΔU+RΔT

在前面的方程中，从方程 (2) 和 (3) 中代入 ΔH 和 ΔU 的值。(1)，

$$\mathrm{nCpΔT=nCvΔT+RΔT}$$

对于 (n=1)，上述方程可以表示为 -

$$\mathrm{CpΔT=CvΔT+RΔT}$$

使用 ΔT 作为公因子，然后

$$\mathrm{Cp×ΔT=(Cv+R)ΔT}$$

通过从两边去除 ΔT，

$$\mathrm{Cp=Cv+R}$$

$$\mathrm{Cp-Cv=R}$$

为什么 Cp 大于 Cv？

Cp 和 Cv 表示理想气体的比热。它们表示使单位质量的温度升高 1 度所需的热量。

根据热力学第一定律，

$$\mathrm{ΔQ=ΔU+ΔW}$$

其中，

ΔQ 是输入物体的热量，U 是内能的变化，W 是所做的功。

在恒定压力下，吸收的热量不仅用于提高内能，还用于做功。在恒定体积下，吸收的热量仅用于提高内能，而不做任何功，因为（对于封闭系统）

$$\mathrm{W=PΔV}$$

其中 W 是完成的功。这里，

$$\mathrm{ΔV=0}$$

（封闭系统也是恒定体积的重要条件之一）。因此，恒压比热大于恒定体积下的比热，即

$$\mathrm{Cp>Cv }$$

结论

摩尔热容的 SI 单位是焦耳每开尔文摩尔 (J/Kmol)，通常称为 JK^-1 mol^-1。量热计是测量热量的工具。由于热量是在恒定压力下传递的，因此恒压摩尔热容 Cp 总是大于恒定体积摩尔热容 Cv。热膨胀是指物体尺寸随温度升高而增大的现象。

常见问题

1.如何利用给定材料的比热容计算热容？

Q=mCΔT

2.在国际单位制 (SI) 中，比热容和热容分别是什么单位？

热容和比热容的 SI 单位分别是焦耳每开尔文 (J/K) 和焦耳每千克开尔文 (J/KgK)。

3.如果我们有 3.5 千克的水。如果水的比热为 4180 J/Kg⁰C，则水的热容是多少？

$$\mathrm{c = 4180 \frac{J}{Kg}^\circ C}$$

m = 3.5 kg

$$\mathrm{Q=mC}$$

= 3.5×4180

$$\mathrm{= 14630 \frac{J}{^\circ C}}$$

4.一块 600 克的铜块在 30⁰C 到 80⁰C 的温度范围内被加热。如果铜的比热为 0.385 J/g⁰C，则计算加热铜所需的能量。

$$\mathrm{c = 0.385 \frac{J}{g}^\circ C}$$

$$\mathrm{ΔT = (80–30)^\circ C= 50^\circ C}$$

我们知道，Q=mCΔT

= 600 × 0.385 × 50

= 11550 J

5.一个重 35 克的金属球在 $\mathrm{100^\circ C}$ 的温度下用 2000 J 的能量加热。确定金属球的比热。

m = 35 gm

$$\mathrm{ΔT = 100^\circ C}$$

Q = 2000 J

将这些值代入 Q=mCΔT

$$\mathrm{2000 J = (35 g) c (100^\circ C)}$$

$$\mathrm{2000 J = (3500g^\circ C) c}$$

两边都除以 3500 g⁰C

$$\mathrm{2000 J/ 3500^\circ C= c}$$

$$\mathrm{c = 0.571 \frac{J}{g}^\circ C}$$

6.比热容和热容有什么区别？

比热容和热容在几个方面有所不同。主要区别在于比热容不依赖于材料的质量，而热容则依赖于材料的质量。

7.130 克铁的比热为 $\mathrm{0.45 J/g^\circ C}$。铁制品在 $\mathrm{100^\circ C\: 到\: 500^\circ C}$ 的温度范围内被加热。确定所需的热能。

质量 (m) = 130 g

铁的比热 (C) = $\mathrm{0.45\frac{J}{g}^\circ C}$

温度变化 (ΔT) = 500 – 100 = 400⁰C

$$\mathrm{Q=mCΔT}$$

$$\mathrm{Q = 130g × 0.45\frac{J}{g}^\circ C × 400^\circ C}$$

Q = 23400 J

因此，130 克铁的热容为 23400 J。