希尔密码如何容易受到选择明文攻击？

希尔密码是由莱斯特·S·希尔发明的一种多字母多表密码。希尔密码是一种编码系统，它结合了矩阵的概念和线性同余的方法，用于将明文加密成密文，以及将密文解密成明文。

希尔密码不会将明文中相同的字母都映射到密文中相同的字母，因为它利用矩阵乘法进行加密和解密。希尔密码是一种多表密码，可以归类为分组密码，因为要处理的文本将被分成特定大小的块。

一个块中的每个字符都会影响加密和解密过程中块中的其他字符，从而确保相同的字符不会映射到相同的字符。

希尔密码属于经典的密码算法，如果仅根据密文文件来破解，对于密码分析师来说非常复杂。然而，如果密码分析师同时拥有密文文件和明文文件的一部分，那么破解它就相对简单了。这种密码分析技术称为已知明文攻击。

希尔密码的基础需要矩阵乘法和矩阵求逆技术。希尔密码的关键是n x n矩阵，其中n是块的大小。

成为密钥的K矩阵应该是一个可逆矩阵，它具有逆矩阵K-1，因此密钥必须具有逆矩阵，因为K-1矩阵是用于解密的密钥。

希尔密码的阶段如下：

• 在希尔密码中，明文被分成相同大小的块。

• 这些块逐个加密，使得块中的每个字符都参与到块中新字符的加密中。

• 在希尔密码中，密钥是一个大小为m x m的方阵，其中m定义了块的大小。如果称密钥矩阵为K，则表示为：

  $$\mathrm{K=\begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & K_{1m} \ K_{21}& K_{22}& K_{2m}\ K_{31} & K_{32}& K_{3m}\ \end{bmatrix}}$$

• 如果明文块中有m个字符，即P₁、P₂…Pm，则密文块中相应的字符C₁、C₂…C_m将由以下等式定义：

  $$\mathrm{C_{1}=P_{1}\, K_{11}+P_{2}\, K_{12}+P_{3}\, K_{13}\: mod\: 26}$$
  $$\mathrm{C_{2}=P_{1}\, K_{21}+P_{2}\, K_{22}+P_{3}\, K_{23}\: mod\: 26}$$
  $$\mathrm{C_{3}=P_{1}\, K_{31}+P_{2}\, K_{32}+P_{3}\, K_{33}\: mod\: 26}$$

• 这些等式可以用列矩阵的形式表示为：

  $$\mathrm{\begin{pmatrix} C_{1} \ C_{2} \ C_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} K_{11} &K_{12} & K_{13} \ K_{21} & K_{22} & K_{23} \ K_{31} & K_{32} & K_{33} \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P_{1} \ P_{2} \ P_{3} \end{pmatrix} \: mod\: 26}$$

• 一般情况下，希尔密码的等式可以定义为：

  $$\mathrm{C\: =\: K\, P\: mod\: 26}$$
  $$\mathrm{P\: =\: K^{-1}\, C\: mod\: 26}$$

• 希尔密码很容易被已知明文攻击破解。假设有m个明文-密文对，每个长度为m，使得

  $$\mathrm{C_{i}\, =\, K\, P_{i}\: for\: 1\leq i\leq m}$$

• 未知密钥矩阵K可以计算为：

  $$\mathrm{K=C_{i}\: P_{i}^{-1}}$$

  一旦计算出密钥，就可以轻松地破解密码。

Ginni

更新于： 2022年3月14日

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