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法学JavaScript区间最小公倍数查询程序
LCM代表最小公倍数，一组数字的最小公倍数是在所有能被该组所有数字整除的数字中，最小的一个。我们将看到完整的代码以及对给定问题的解释。在本文中，我们将实现用于区间LCM查询的JavaScript程序。
问题介绍
在这个问题中，我们得到一个包含整数的数组和另一个包含成对数字的查询数组，这些数字表示来自给定数组的范围，我们必须计算该给定范围的所有元素的LCM。例如：
如果给定数组是：[1, 2, 3, 4, 5, 6]，而查询数组是：[[1,3], [2,5]]，则对于第一个查询，元素为[2, 3, 4]，LCM为12。
对于第二个查询，元素是[3, 4, 5, 6]，LCM是60。
LCM和GCD之间的数学关系
为了找到GCD，我们有一个欧几里得公式，借助它我们可以以对数复杂度找到两个数字的GCD，并且LCM和GCD之间存在以下关系：
LCM and GCD of a given set A {a1, a2, a3 …. , an} is:
LCM(A) * GCD(A) = (a1 * a2 * a3* … * an)
OR
LCM(A) = (a1 * a2 * a3 … * an) / GCD(A)
因此，我们将找到所有数字的GCD和乘积，然后从中，我们可以用O(1)的操作找到数字的LCM。
朴素方法
朴素方法是遍历查询数组，对于每个查询，找到给定范围内的元素的乘积和GCD。从这两个值中找到LCM并返回它。让我们在代码中实现它：
示例
// function to find the gcd of the given number
function gcd(a,b){
if (a == 0) {
return b;
}
else {
return gcd(b%a,a);
}
}
// function to find the lcm
function lcmRange(arr, l, r){
// taking gcd as zero because gcd of 0 with any number is that same number
var cur_gcd = 0
var product = 1
var cur_lcm = arr[l]
for(var i = l+1 ;i <= r; i++) {
product = cur_lcm * arr[i];
cur_gcd = gcd(cur_lcm, arr[i])
cur_lcm = product/cur_gcd
}
console.log("The LCM of the element in the given range from " + l + " to " + r + " is: " + cur_lcm);
}
// defining the array
var arr = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6]
// defining the queries array
var queries = [[1,3], [2,5]]
// traversing over the array
for(var i = 0; i< queries.length; i++){
lcmRange(arr,queries[i][0], queries[i][1])
}
时间和空间复杂度
上述代码的时间复杂度为O(Q*N*log(D))，其中Q是查询的数量，N是数组中的元素数量，D是数组中最大的数字。
上述代码的空间复杂度为O(1)，因为我们没有使用任何额外的空间。
在上述程序中，如果查询的数量等于N，则其时间复杂度大于N2，这使得这种方法效率低下。让我们看看另一种方法：
线段树方法
线段树是一种高级数据结构，用于将问题划分为多个片段，然后根据2的幂将它们全部连接起来。这需要一些空间，但对于区间查询，可以在对数时间内产生结果。让我们看看它的代码：
示例
// defining maximum size
var MAX = 1000
// makking tree
var tree = new Array(4*MAX);
// declaring new array
var arr = new Array(MAX);
// function for lcm
function lcm(a, b){
return a*b/gcd(a,b);
}
// function for gcd
function gcd(a, b){
if (a == 0) {
return b
}
else{
return gcd(b%a,a);
}
}
// Function to creata a segment tree
function build(first, last, cur_node){
// base condition
if (first == last){
tree[cur_node] = arr[first];
return;
}
var mid = (first + last)/2
mid = Math.floor(mid);
// creating left and right segments
build(first, mid, 2*cur_node);
build(mid+1, last, 2*cur_node + 1);
// build the parent for current
var lcm_l = tree[2*cur_node];
var lcm_r = tree[2*cur_node+1];
tree[cur_node] = lcm(lcm_l, lcm_r);
}
// Function to make queries for array range
function query(first, last, l, r, cur_node){
// section out of current range
// 1 is safe to return
if (last < l || first > r){
return 1;
}
// complete inside the current segment
if (l <= first && r >= last)
return tree[cur_node];
// partially inside the current segment
var mid = (first+last)/2;
mid = Math.floor(mid)
var lcm_l = query(first, mid, l, r, 2*cur_node);
var lcm_r = query(mid+1, last, l, r, 2*cur_node+1);
return lcm(lcm_l, lcm_r);
}
// defining the array
arr[0] = 1;
arr[1] = 2;
arr[2] = 3;
arr[3] = 4;
arr[4] = 5;
arr[5] = 6;
// build the segment tree
build(0, 5, 1);
// defining query array
var queries = [[1,3], [2,5]]
// traversing over the array
for(var i = 0; i< queries.length; i++){
console.log("The LCM of the element in the given range from " + queries[i][0] + " to " + queries[i][1] + " is: " + query(0,5,queries[i][0],queries[i][1],1) );
}
结论
在本教程中，我们实现了一个JavaScript程序来查找区间LCM查询。我们看到了两种方法，一种是时间复杂度为O(Q*N*log(D))的朴素方法，另一种是通过实现时间复杂度为O(Q*log(N))的线段树。
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