平均绝对偏差

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介绍

各种统计术语和方法用于表示、分析和比较数学中的数据。数据集包含许多数字或值，分析起来相当困难。在这个方向上，各种平均值和偏差术语被用来预测过程的行为。在本教程中，我们将学习集中趋势、方差、偏差、平均值、绝对值和标准差的一些示例。

集中趋势

集中趋势是描述性统计中的一个重要概念。在统计学中，集中趋势被定义为代表概率分布中心值的唯一值。它没有说明数据集的个体信息；然而，它指的是一个索引值，该索引值总结了整个数据集。各种术语已被用来描述数据集的集中趋势。但是，下面描述了一些重要的术语。

• 平均值 - 平均值或算术平均值是将所有样本值加总除以样本总数的比率。

• 中位数 - 数据集的中间值（但是数据集按升序排列）。

• 众数 - 它表示数据集中最频繁的值。

• 几何平均数 - 几何平均数定义为所有数据的乘积的 n 次方根。换句话说，它也定义为所有数据点的对数值的算术平均数。

• 算术平均数 - 算术平均数包括数据集中所有数据的平均值。

• 调和平均数 - 调和平均数是算术平均数的倒数。

• 加权平均数 - 这种类型的平均数用于总结数据集，以便最大限度地重视数据集中特定值。中值范围 - 它定义为数据集的最大值和最小值的算术值。

方差和偏差

方差和偏差是金融领域最常用的两个统计参数。在数学上，这两个参数彼此相关。让我们详细讨论每个术语。

方差

方差定义为与平均值（算术）的平方差的算术平均值。它告诉我们单个数据与数据集平均值的距离。换句话说，它用于找到预期偏差与实际值的差异。数据集的方差在数学上与偏差相关，如下面的表达式所示。

$$\mathrm{方差 = (标准差)^2=\sigma ^2}$$

评估数据集中方差的一般公式如下所示。

$\mathrm{ 方差 =\sigma ^2=\frac{∑(X-μ)^2}{P}}$（对于分组数据）

$\mathrm{方差 =\sigma^2=\frac{\sum(X-( \underline{\bar{x}}) )^2}{P-1}}$（对于非分组数据）

其中 X、μ、 和 P 分别表示单个数据的值、总体平均值、数据的平均值和数据的总数。

偏差

偏差衡量方差和单个数据之间的差异。它告诉我们数据分散的程度。偏差值低表示观察到的数据更接近平均值。在偏差值较高的情况下，观察值和平均值之间存在显着差异。

偏差类型

统计学中存在几种类型的偏差，如下所示。

• 平均绝对偏差

• 标准差

• 平均绝对偏差

• 最大绝对偏差

平均绝对偏差

它被定义为每个观察到的数据与整个数据集平均值的平均距离。它缩写为“MAD”。以下公式可用于确定平均绝对偏差。

$$\mathrm{MAD =\sum \frac{距中心测量的绝对值偏差}{样本总数}= \sum \frac{|X-\underline{\bar{x}}|}{P}}$$

需要遵循以下步骤来评估平均绝对偏差。

• 评估整个数据集的平均值。

• 找到每个观测值与平均值之间的差异。

• 找到获得的差值的算术平均值。所得值将给出所需的平均绝对偏差。

标准差

标准差是方差的平方根，它告诉我们数据分散的程度。它用符号“σ”表示，缩写为 SD。SD 值低表示观察到的数据更接近平均值。在 SD 值较高的情况下，观察值和平均值之间存在显着差异。评估数据集中 SD 的一般公式如下所示。

$\mathrm{ SD =\sigma =\sqrt{\frac{\sum (X-μ)^2}{P}}}$（对于分组数据）

$\mathrm{ SD =\sigma =\sqrt{\frac{\sum (X-\underline{\bar{x}})^2}{P-1}}}$（对于非分组数据）

其中 $\mathrm{X, \mu, \underline{\bar{x}}, and\: P }$ 分别表示单个数据的值、总体平均值、数据的平均值和数据的总数。

标准差和平均绝对偏差之间的异同

标准差和平均绝对偏差之间的相似之处如下所述。

• 两种偏差都用于量化数据集中偏差。

• 算术平均值用于计算两种偏差。

但是，这两种偏差之间存在一些差异，总结如下。

序号	标准差	平均绝对偏差
1	它通常用于统计学。	它是查找偏差的另一种方法。
2	它可以使用公式计算，$\mathrm{\sigma =\sqrt{\frac{\sum (X-\underline{\bar{x}})^2}{P-1}}}$	它可以使用公式计算， $\mathrm{MAD=\sum \frac{ |X-\underline{\bar{x}}|}{P}}$
3	SD 的值始终小于 MAD。	MAD 的值始终大于 SD。

已解决示例

示例 1

评估以下数据集的平均绝对偏差：10、5、19、30、45、60、55 和 72。

解决方案

数据的平均值 = $\mathrm{\underline{\bar{x}}=\frac{10+5+19+30+45+60+55+72}{8}=37}$

平均绝对偏差可以使用以下公式获得，

$$\mathrm{MAD=\sum \frac{|X-\underline{\bar{x}|}}{P}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow MAD=\frac{|10-37|+|5-37|+|19-37|+|30-37|+|45-37|+|60-37|+|55-37|+|72-37|}{8}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow MAD=21}$$

∴ 给定数据集的平均绝对偏差为 21。

示例 2

评估分组数据的方差和标准差。

类别间隔	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20	20-24
频率	2	3	1	5	6	8

解决方案

类别间隔	频率 (f)	类别标记 (xi)	fxi	fxi2
0-4	2	2	4	8
4-8	3	6	18	108
8-12	1	10	10	100
12-16	5	14	70	980
16-20	6	18	108	1944
20-24	8	22	176	3872
	$$\mathrm{\sum \mathit{f}=25}$$		$$\mathrm{\sum \mathit{f}x_i=386}$$	$$\mathrm{\sum \mathit{f}x_i^2=7012}$$

$$\mathrm{平均值 = \bar{x}=\frac{\sum fx_i}{\sum f}=\frac{386}{25}=15.44}$$

$$\mathrm{方差 =\frac{1}{\sum f-1}[\sum fx_i^2-\frac{1}{\sum f}(\sum fx_i )^2]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow 方差 =\frac{1}{25-1}[7012-\frac{1}{25}(386)^2]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow 方差 =43.84}$$

现在，标准差 $\mathrm{= \sqrt{方差}=\sqrt{43.84}=6.62}$

∴ 给定数据集的方差和标准差分别为 43.84 和 6.62。

结论

本教程简要介绍了集中趋势及其各种平均值。本教程中说明了平均绝对偏差和标准偏差的基本定义。此外，还说明了这两种偏差之间的异同。此外，还提供了一些已解决的示例，以更好地阐明此概念。总之，本教程可能有助于理解平均绝对偏差的基本概念。

常见问题解答

1. 标准差为零意味着什么？

标准差值为零表示数据集中所有观察到的数据都相等。

2. 标准差的局限性是什么？

计算偏差的困难是标准差的主要缺点。此外，它无法在开区间中计算。

3. 标准差的良好值应该是多少？

大多数数学家希望将标准差值保持在 ±2 的范围内。

4. 方差为零意味着什么？

数据集的零方差表示数据值是恒定的。

5. 平均绝对偏差的优点是什么？

平均绝对偏差的主要优点包括与标准偏差相比的简单性和有效性。