单项式

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引言

• 一个单项式是由变量的正整数次幂的乘积。

• 它不包含任何负数和分数指数。

• 如果单项式是一个分数，则其分母不包含变量。

• 单项式变量是它包含的一个字符。

• 系数是乘以单项式变量的数字。

• 单项式的次数是所有变量指数的和。

在本教程中，我们将讨论单项式及其组成部分。

什么是单项式？

• 单项式是多项式的一个组成部分，当它是更大多项式的一部分时，被称为“项”。

• 换句话说，多项式中的每一项都是一个单项式。

• 在数学中，单项式是一种只包含一项的多项式。

• 例如，6s + 7s + 8s 是一个单项式，因为当我们添加相似的项时，结果将是 21s。此外，8y、9x²y、3xy 等是单项式，因为这些表达式中的每一个都只包含一项。

• 多项式由加法、减法、乘法和变量的非负整数指数运算组成。在单项式中，指数应为整数。

单项式的例子

下面讨论了各种单项式的例子。

• 2x² y³z

• 5x³ y

• 10z³

• a – 这里，变量为一个，次数也为一。

• 7x⁴ – 这里，系数为 7，次数为 4。

• x³y – 这里，x 和 y 是两个变量，次数是 (3+1)=4。

• -9xy – 这里，x 和 y 是两个变量，系数是 -9。

单项式表达式的组成部分

单项式中存在的各个部分是：

变量 - 变量是单项式中存在的字母，其值不是固定的。

次数表示为单项式表达式中指数的和。

系数 - 系数是单项式表达式中乘以变量的数字。

字母部分 - 这是单项式表达式中以字母形式出现的指数值。

让我们来看一个单项式表达式的例子。

例如：9xy²

在这个例子中，我们可以看到 9 是单项式表达式的系数。

X 和 y 是单项式表达式中存在的变量。

我们可以看到这个单项式表达式的次数计算为 1+2 = 3。

现在再来看一些单项式表达式的例子 - 8xy、24ab²、22a，这些都是单项式；让我们来看一些像2+x、6+y、9+xy这样的表达式，这些都不是单项式的例子，因为它们不满足上述单项式的条件。

单项式的次数

现在是时候讨论一下关于单项式次数的一些点了，正如我们看到的，次数表示为单项式表达式中指数的和。永远记住非零常数的次数总是零。

例如：9x² y³ 在这个表达式中，次数是 2+3 = 5，这里的单项式值是常数。阶数 - 单项式次数的另一个名称是阶数。

单项式的因式分解

单项式表达式的因式分解与我们对数字进行因式分解类似，例如：12b⁴ 首先将其系数因式分解为2×2×3，类似地，b⁴ 被因式分解为b×b×b×b。

单项式的运算

我们在单项式表达式中使用的各种算术运算有加法、减法、乘法和除法。

例如

两个单项式的加法。

两个单项式的减法。

两个单项式的乘法。

两个单项式的除法。

两个单项式的加法

将具有相似字母部分的两个单项式相加将得到以下单项式表达式。

例如，8xy+ 11xy 的和是 19xy。

两个单项式的减法

将具有相似字母部分的两个单项式相减将得到以下单项式表达式。

例如，12abc – 8abc 的差是 4abc。

两个单项式的乘法

单项式与单项式的乘积也将得到一个单项式，

例如：

6x² y 和 5z 的积是 30x² yz

当我们把两个具有相同变量的单项式相乘时，我们相加它们的指数值。

例如：

x⁶ 和 x⁴ 的积为

(x⁶)(x⁴) = x⁶⁺⁴= x¹⁰

两个单项式的除法

当我们用相同变量的两个单项式相除时，我们相减它们的指数值。

例如，x⁸ 除以 x² 为

$$\mathrm{\frac{x^8}{x^2} =x^{8-2}=x^6}$$

单项式、二项式和三项式的区别

单项式	二项式	三项式
单项式是代数表达式，它包含一项。 正如我们从例子中看到的，不需要任何数学运算符。	包含两项的表达式称为二项式；例如，x + y、m – 5、mn + 4m 和 a 2 – b 2 是二项式。 正如你在这里看到的，我们使用 + 或 – 符号，因为有两项通过这些数学运算符连接。	包含三项的表达式称为三项式。 现在这里已经很清楚了，我们使用两个运算符（+ 或 – 符号）来连接三项。
例如：2a、4b、6c、2x2、7abc 等是单项式。	例如：2x2 + y、10p + 7q2、a - b、2x2 y2+ 9 是二项式。	例如：2x2 + y - z、r - 10p + 7q2、a + b - c、2x2 y2 + 9 + z 是三项式。

例题

例1. 从下列问题中选择单项式。

• 4ab

• 9b+c

• 5x²+2y

• a+b+c²

解答：4ab 是单项式。

9b+c 和 5x²+2y 是二项式，a+b+c² 是三项式。

它们都是多项式。

例2. 求以下单项式 8a² 的因式。

解答- 给定单项式为 8a²

首先，我们对变量 a 的系数进行因式分解。(即)8

这里，8 因式分解为 2×2×2

a² 可以因式分解为 a×a。

因此，单项式 8a² 的因式分解为 2 × 2 × 2 × a × a。

例3. 7ab + ab 是单项式还是二项式？

解答：给定的表达式：(7ab + ab) = 8ab，这是一个只包含一项的表达式，因此它是一个单项式。

例4. 对单项式 15y⁴ 进行因式分解。

解答：在给定的单项式中，15 是系数，y³ 是变量。

系数 15 的质因数是 3 和 5。

变量 y⁴ 可以因式分解为 = y × y × y × y。

因此，单项式的完全因式分解为 15y⁴ = 3 × 5 × y × y × y × y。

例5. 简化以下等式 (x⁵ y²)(x³ y²)

解答： (x⁵ x³)(y² y²)

= x⁵⁺³×y²⁺²

= x⁸ y⁴

结论

只有一个项的多项式称为单项式。在代数中，单项式是一个只包含变量和系数的项的表达式。例如，4xy 是一个单项式，因为它有两个变量和一个系数。单项式是多项式的一个组成部分，当它是更大多项式的一部分时，被称为“项”。换句话说，多项式中的每一项都是一个单项式。

单项式表达式的组成部分是

变量

系数

次数

字母部分

• 当我们把两个具有相同变量的单项式相乘时，我们可以相加这些变量的指数值。

• 当我们用相同变量的两个单项式相除时，可以减去变量的指数值。

• 单项式是一个只有一项的表达式。二项式是一个包含两个非零项的表达式。三项式是一个包含三个非零项的表达式。

常见问题

1.什么是单项式？

单项式是代数表达式中只有一项的表达式，例如 3xy。它包括数字、整数和相乘的变量，以及相乘的变量。

2.如何求单项式的次数？

单项式的次数是单项式表达式中指数的和。

3.5ˣ项是单项式吗？

不是，因为指数不是整数。

4.如何检查给定的表达式是否是单项式？

表达式应该只有一个非零项。

指数应该是整数。

表达式分母中不应该有变量。

5.什么是常数单项式？请举例说明。

只有一个非零常数项的多项式。

例如，$\mathrm{25, 5, \frac{7}{8} 等。}$