规范形式之间的转换

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当逻辑表达式或布尔函数表示为最小项之和或最大项之积时，则称为该表达式或函数的规范形式。

布尔表达式的规范形式也称为标准形式，即标准积之和 (SSOP) 形式和标准和之积 (SPOS) 形式。布尔函数的规范形式涉及最小项和最大项。

• 最小项是一个乘积项，其中包含布尔函数的所有变量，这些变量以补码或非补码形式出现。

• 最大项是一个和项，其中包含布尔函数的所有变量，这些变量以补码或非补码形式出现。

我们可以将一种规范形式转换为另一种规范形式。在本教程中，我们将讨论规范形式之间的转换。

规范形式之间的转换

以最小项之和表示的布尔函数的补码等于原始布尔函数中缺少的最小项之和。这是因为，原始布尔函数仅包含那些使函数等于 1 的最小项。而布尔函数的补码对于那些使函数等于 0 的最小项等于 1。

例如，考虑一个包含 3 个变量的布尔函数，

$$\mathit{f}\mathrm{\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 1,2,4,5,7\rgroup }$$

此函数的补码为：

$$\mathrm{\overline{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup} =\sum m\lgroup 0,3,6) =m_0+m_3+m_6}$$

现在，如果我们使用德摩根定理 ($\lgroup\overline{A+B}=\overline{A}.\overline{B}\rgroup$) 对函数 (f’) 取补码，我们将获得原始布尔函数 (f) 的不同形式，即

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup\overline{ m_0+m_3+m_6}\rgroup=\overline{m_0}.\overline{m_3}.\overline{m_6}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=M_0.M_3.M_6=\prod \lgroup 0,3,6\rgroup}$$

实际上，

$$\mathrm{\overline{m_i} =M_i}$$

即，下标为 i 的补最小项等于下标为 i 的最大项，反之亦然。

因此，根据此讨论，我们可以写出规范形式之间转换的步骤。这些步骤如下：

• 互换运算符 Σ 和 Π。

• 使用德摩根定理来写出原始布尔函数形式中不存在的项。

现在，让我们讨论一些已解决的示例，以便更详细地理解这个概念。

示例 1

将以下布尔函数从规范 SOP 形式转换为规范 POS 形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 0,1,2,5,7\rgroup }$$

解决方案

给定的布尔函数为：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 0,1,2,5,7\rgroup }$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=m_0+m_1+m_2+m_5+m_7}$$

在规范 SOP 形式中，缺少最小项 3、4 和 6。因此，在规范 POS 形式中，将存在最大项 3、4 和 6。因此，给定布尔函数的规范 POS 形式为：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 3,4,6\rgroup=M_3.M_4.M_6}$$

示例 2

将以下布尔函数从规范 POS 形式转换为规范 SOP 形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 0,2,4,7\rgroup}$$

解决方案

给定的布尔函数为：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\prod M\lgroup 0,2,4,7\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=M_0.M_2.M_4.M_7}$$

在规范 POS 形式中，缺少最大项 1、3、5 和 6。因此，在规范 SOP 形式中，将存在最小项 1、3、5 和 6。

因此，给定布尔函数的规范 SOP 形式为：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\sum m\lgroup 1,3,5,6\rgroup =m_1+m_3+m_5+m_6}$$

结论

这就是规范形式之间转换的全部内容。在本文的上述部分中，我们已经看到，布尔函数的规范 SOP 形式可以转换为规范 POS 形式，反之亦然，只需互换运算符 Σ 和 Π，并列出原始布尔函数中缺少的项。