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法学给定图中移除 Q 个顶点后连通分量的数量
连通分量的数量表示在移除指定的Q个顶点后，图中剩余顶点所形成的非连通子图的数量。各个分量之间没有边连接；每个连通分量都由通过边连接的一组顶点组成。移除Q个顶点后，某些顶点可能会变得孤立，导致连接断裂并形成新的分量。该方法旨在确定最终将有多少个非连通子图。许多应用都需要了解连通分量的数量，包括网络分析、社交网络研究和优化算法。
使用的方法
Kosaraju 算法
基于矩阵的方法
Kosaraju 算法
从图中删除指定的Q个顶点后，使用 Kosaraju 算法来确定网络中的连通分量数量。它使用两遍深度优先搜索 (DFS)。第一遍遍历原始图以获得每个顶点的“完成时间”。在第二遍中，图被转置（所有边的方向都反转），并且从完成时间最高的顶点开始对转置后的图应用 DFS。该方法确定了更改后的图中连通分量的数量，通过在过程中忽略已移除的Q个顶点，揭示了顶点移除后非连通子图的数量。
算法
创建一个空栈来存储第一次 DFS 遍历的顶点。
在原始图上运行第一次 DFS 遍历
从一个未探索的顶点开始，使用 DFS 探索一个连通顶点的分量。
当一个顶点的所有相邻顶点都被访问后，标记访问该顶点并将其压入栈中。
反转每条边的方向以转置图。
为第二次 DFS 遍历创建一个布尔数组来跟踪已访问的顶点。
在修改后的图上运行第二次 DFS 遍历
从栈中依次移除每个顶点。
如果一个顶点尚未被访问或删除（不在Q中），则使用 DFS 探索该顶点的相关分量。在此过程中，标记已访问的顶点。
移除 Q 个顶点后，连通分量的数量等于第二次 DFS 被调用的次数。
移除 Q 个顶点后，该过程会生成网络中连通分量的数量。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>
using namespace std;
void dfs1(int vertex, vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited, stack<int>& stk) {
visited[vertex] = true;
for (int neighbor : graph[vertex]) {
if (!visited[neighbor])
dfs1(neighbor, graph, visited, stk);
}
stk.push(vertex);
}
void dfs2(int vertex, vector<vector<int>>& transpose_graph, vector<bool>& visited) {
visited[vertex] = true;
for (int neighbor : transpose_graph[vertex]) {
if (!visited[neighbor])
dfs2(neighbor, transpose_graph, visited);
}
}
int kosaraju(int N, vector<vector<int>>& graph, vector<vector<int>>& transpose_graph, vector<int>& Q) {
vector<bool> visited(N + 1, false);
stack<int> stk;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
if (!visited[i])
dfs1(i, graph, visited, stk);
}
fill(visited.begin(), visited.end(), false);
for (int i = 0; i < Q.size(); i++) {
visited[Q[i]] = true;
}
int count = 0;
while (!stk.empty()) {
int vertex = stk.top();
stk.pop();
if (!visited[vertex]) {
dfs2(vertex, transpose_graph, visited);
count++;
}
}
return count;
}
int main() {
int N = 7;
int M = 8;
int E = 2;
vector<vector<int>> graph(N + 1);
vector<vector<int>> transpose_graph(N + 1);
vector<pair<int, int>> edges = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {2, 4}, {4, 5}, {5, 6}, {6, 4}, {7, 6}};
for (const auto& edge : edges) {
int u = edge.first;
int v = edge.second;
graph[u].push_back(v);
transpose_graph[v].push_back(u);
}
vector<int> Q = {3, 4};
int result = kosaraju(N, graph, transpose_graph, Q);
cout << result << endl;
return 0;
}
输出
5
基于矩阵的方法
基于矩阵的方法使用邻接矩阵或邻接表来表示图。然后，从矩阵中移除指定的 Q 个顶点。然后，通过对修改后的图使用图遍历算法（如深度优先搜索 (DFS) 或广度优先搜索 (BFS)）来确定连通分量的数量。记录已遍历的顶点以避免重新处理。移除 Q 个顶点后，图中连通分量的数量对应于遍历方法运行的次数。对于不同的图分析和网络相关应用，此方法有效地计算连通分量数量。
算法
使用邻接矩阵或邻接表来表示图。
通过从矩阵或列表中移除指定的 Q 个顶点来生成修改后的图。
设置一个变量来跟踪连通分量的数量。
最初遍历更新后的图中的每个顶点。
从每个未探索的顶点应用图遍历算法 (DFS 或 BFS)。
标记在遍历期间访问的顶点以避免重新处理。
继续遍历，直到所有与初始顶点相关的顶点都被访问。
对于发现的每个独特的互连顶点集，在方程中将连通分量的数量增加 1。
根据需要重复步骤 5 到 8，以访问更新后的图中的每个顶点。
移除所需顶点后，图中非连通子图的总数由连通分量数量的最终值表示。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void dfs(vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited, int node) {
visited[node] = true;
for (int neighbor : graph[node]) {
if (!visited[neighbor]) {
dfs(graph, visited, neighbor);
}
}
}
int countReachableNodes(vector<vector<int>>& graph) {
int N = graph.size();
vector<bool> visited(N, false);
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i) {
if (!visited[i]) {
dfs(graph, visited, i);
count++;
}
}
return count;
}
int main() {
// Create the graph (Adjacency List representation)
vector<vector<int>> graph = {
{1},
{0, 2},
{1},
{4},
{3}
};
int reachableNodes = countReachableNodes(graph);
cout << "Number of nodes accessible from all other nodes: " << reachableNodes << endl;
return 0;
}
输出
Number of nodes accessible from all other nodes: 2
结论
总之，在移除一定数量的顶点后，图中剩余的连通分量数量是网络分析和相关领域中的一个关键指标。基于矩阵的方法和 Kosaraju 算法都提供了计算此数量的有效方法。基于矩阵的方法使用 DFS 或 BFS 等图遍历算法在重新设计的图上有效地找到连通分量，而 Kosaraju 算法使用两遍深度优先搜索来识别强连通分量。即使在移除某些顶点后，这两种方法也能产生可靠的结果，有助于理解图的连接性和结构特征。选择使用哪种方法取决于图的属性和当前问题的具体要求。
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