不相交集

---

介绍

不相交集可以用于许多数学问题，尤其是在数据结构中。在集合论中，不相交集是两个没有共同元素的集合。换句话说，如果我们取两个集合的交集，结果是一个空集，那么这两个集合就被称为不相交集。在本教程中，我们将学习什么是集合、不相交集以及集合不相交的条件，以及一些已解决的示例。

集合

集合是用于数学建模的元素或观测值的集合。集合的元素可以是任何数学对象，例如数字、变量、空间中的点等。

不相交集

对于两个集合不相交，它们的交集必须是一个空集或空集。对于两个以上的集合，当所有集合之间的交集为空集或空集时。

不相交集之间没有共同的元素。例如，如果有两个集合，A = {x, y} 和 B = {p, q}。我们可以看到这两个集合之间没有共同的元素。我们可以取两个集合的交集。

$$\mathrm{A ∩ B = 𝛟.}$$

因此，两个不相交集的交集结果为空集。可以用韦恩图表示两个集合 X 和 Y。下图以韦恩图的形式表示两个集合 X 和 Y。

集合不相交的条件

为了确定两个集合是否不相交，我们必须找到这两个集合的交集。因此，两个集合不相交的条件可以表示为：

$$\mathrm{A ∩ B = 𝛟.}$$

如果有多个集合，则计算每对集合之间的交集。然后评估结果中是否存在任何非空集。如果所有结果都是空集，则该组集合称为不相交集。

例如，假设有三个集合，例如 A= {4, 5}，B= {5, 3} 和 C= {1, 3}。

我们必须确定每对集合之间的交集。

第一对

$$\mathrm{A∩B=\{4,5\} ∩\{5,3\}.}$$

$$\mathrm{A∩B=\{5\}}$$

第二对

$$\mathrm{B∩C=\{5,3\} ∩\{1,3\}}$$

$$\mathrm{B∩C=\{3\}}$$

第三对

$$\mathrm{C∩A=\{1,3\} ∩\{4,5\}}$$

$$\mathrm{C∩A=Φ}$$

因此，我们可以说，在三对 A∩B、B∩C 和 C∩A 中，C 和 A 是不相交集。

互不相交集

互不相交集是指属于同一集合的子集，但它们是不相交集。例如，设有一个集合 X，A 和 B 是 X 的子集，使得 A ≠ B，且 A ∩ B = ϕ。因此，A 和 B 称为互不相交集。

已解决示例

1)如果有两个集合，P = {11, 13} 和 Q = {1, 7}，找出这些集合是否是不相交集。

答案

已知：P = {11, 13} 和 Q = {1, 7}

首先，我们查看这些集合是否不相交。因此，计算给定集合的交集。

$$\mathrm{P∩Q=Φ}$$

我们知道，如果两个集合之间的交集为空集，则这些集合被称为不相交集。因此，P 和 Q 被认为是不相交集。

2)确定 A 和 B 是否是不相交集。A = {a, i, o, u} 和 B= {f, h,w,o}。

答案

已知：A = {a, i, o, u}，B= {f, h, w, o}

首先，我们查看这些集合是否不相交。因此，计算给定集合的交集。

$$\mathrm{A∩B=\{o\}}$$

现在我们知道，对于两个不相交集，它们之间的交集应该是一个空集。

因此，给定的集合 A 和 B 不是不相交集。

3)证明给定的集合 A、B 和 C 是否是不相交集。A = {3, 4, 7}，Y = {1, 7, 9} 和 Z = {7, 2}

答案：为了证明所有三个给定集合都是不相交集，我们必须证明每一对都是不相交集。我们必须找到 A∩B、B∩C 和 C∩A

$$\mathrm{A∩B=\{3,4,7\}∩\{1,7,9\}}$$

$$\mathrm{A∩B=\{7\}}$$

$$\mathrm{B∩C=\{1,7,9\}∩\{7,2\}}$$

$$\mathrm{B∩C=\{7\}}$$

$$\mathrm{C∩A=\{7,2\}∩\{3,4,7\}}$$

$$\mathrm{C∩A=\{7\}}$$

从上面的结果可以看出，每对集合之间的交集都不是空集。因此，我们可以说给定的集合 A、B 和 C 不是不相交集。

4)找出集合 X = {工作日} 和 Y = {周末} 是否是不相交集。

答案：已知

集合 X= {星期一，星期二，星期三，星期四，星期五}

集合 Y= {星期六，星期日}

我们知道，对于两个不相交集，它们之间的交集应该是一个空集。查找这两个集合之间的交集。

X∩Y= {星期一，星期二，星期三，星期四，星期五} ∩ {星期六，星期日}

X∩Y= ɸ

因此，我们可以说给定的集合 X 和 Y 是不相交集。

5)确定 A 和 B 是否是不相交集，A = {2, 4, 6, 8, 10}（前 5 个正偶数的集合）和 B= {2, 3, 5, 7, 11}（前 5 个质数的集合）。

答案

已知：A = {2, 4, 6, 8, 10}，B= {2, 3, 5, 7, 11}

首先，我们查看这些集合是否不相交。因此，计算给定集合的交集。

$$\mathrm{A ∩ B = \{2\}}$$

现在我们知道，对于两个不相交集，它们之间的交集应该是一个空集。

因此，给定的集合 A 和 B 不是不相交集。

结论

在集合论中，不相交集是两个没有任何共同元素的集合。集合是用于数学建模的元素或观测值的集合。不相交集之间没有共同的元素。

例如，如果有两个集合，A = {x, y} 和 B = {p, q}。两个不相交集的交集结果为空集。如果有多个集合，则计算每对集合之间的交集。互不相交集是指属于同一集合的子集，但它们是不相交集。设有一个集合 X，A 和 B 是 X 的子集，使得 A ≠ B，且 A ∩ B = ϕ。因此，A 和 B 称为互不相交集。

常见问题

1. 定义两个不相交集之间的并集？

不相交集之间的并集是对任何两个不相交集进行的二元运算。不相交并集是一个双射运算。

2. 定义两个集合不相交的条件？

如果两个集合 P 和 Q 之间的交集结果为空集，则可以将它们称为不相交集。A ∩ B = 𝛟。

3. 什么是成对不相交集？

如果对于集合 X，A 和 B 是 X 的子集，使得 A ≠ B，且 A ∩ B = ϕ，则可以将两个集合称为成对不相交集。

4. 如何用韦恩图表示两个不相交集？

可以用两个没有共同元素的圆圈来表示两个不相交集。