欠采样（混叠）和抗混叠滤波器的影响

什么是采样？

将连续时间信号转换为离散时间信号的过程称为采样。采样完成后，信号在离散的时间点上定义，两个连续采样点之间的时间间隔称为采样周期。

奈奎斯特采样率

奈奎斯特采样率是理论上能够对信号进行采样并仍能从其样本中重建信号而不产生任何失真的最小采样率。

欠采样（混叠）的影响

如果信号的采样率低于其奈奎斯特采样率，则称为欠采样。

采样信号的频谱由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{X_{s}\mathrm{\left(\omega \right )}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\sum_{n\mathrm{=-\infty }}^{\infty }\mathit{X\mathrm{\left ( \mathit{\omega -n\omega _{s}} \right )}}}}$$

当信号欠采样时，即$\mathrm{\left ( \mathit{\omega _{s}<\mathrm{2}\omega _{m}} \right )}$，其中$\mathit{\omega _{s}}$是采样频率，$\mathit{\omega _{m}}$是信号中存在的最大频率分量。则信号$\mathit{x\mathrm{\left ( \mathit{t}\right )}}$的频谱$\mathit{X\mathrm{\left ( \omega \right )}}$不再在采样信号$\mathrm{\left[\mathit{X_{s}}\mathrm{\left (\omega \right )} \right ]}$的频谱中复制，因此无法通过低通滤波器重建。因此，$\mathit{X_{s}\mathrm{\left ( \omega \right )}}$方程中各个项重叠的效应被称为混叠。这个频谱重叠的过程也称为频谱折叠效应。

因此，信号频谱中的高频分量在采样信号频谱中呈现为低频分量的现象称为混叠。

如果存在以下任何条件，则可能发生混叠：

• 采样率非常低。

• 信号并非限带到有限范围。

为了避免混叠，应确保：

• $\mathit{\omega _{s}}$大于$2\mathit{\omega _{m}}$。

• 信号$\mathit{x\mathrm{\left ( \mathit{t}\right )}}$必须是限带的。

抗混叠滤波器

用于在采样前对信号进行限带的低通滤波器称为抗混叠滤波器。

正如采样定理所述，只有当信号是限带的时，才能从其样本中完美地重建信号。但是，实际上，没有信号是完全限带的，即信号具有由低频分量和高频噪声分量组成的频谱。

当以采样频率${\mathrm{\left ( \mathit{\omega _{s}} \right )}}$对信号进行采样时，所有频率范围高于$\mathrm{\left(\mathit{\omega _{s}/\mathrm{2}} \right )}$的信号都会产生混叠。因此，为了避免由不需要的高频信号引起的混叠误差，需要首先使用低通滤波器将信号$\mathit{x\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$限带到某个合适的频率$\mathit{\omega _{m}}$，以便保留信号的大部分能量。这种低通滤波器（LPF）通常称为抗混叠滤波器。

Manish Kumar Saini

更新于：2022年1月3日

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