使用线段树求解最长递增子序列 (LIS) 的长度

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线段树是一种通用的数据结构，用于在对数时间复杂度内回答范围查询并在数组上执行更新操作，其中每个节点存储与数组中特定元素范围相关的信息。

在线段树解决最长递增子序列 (LIS) 问题（需要确定给定序列中最长子序列的长度，其中元素按递增顺序排序）的背景下，线段树可以用来高效地计算数组中 LIS 的长度。

与传统方法相比，这种方法显著降低了时间复杂度，并在基因组学、自然语言处理和模式识别等领域具有众多应用。本文探讨了线段树的基础知识，并演示了其在解决 LIS 问题方面的潜力。

语法

线段树构建函数：

void build(vector<int> &tree, const vector &arr, int start, int end, int index)

线段树查询函数：

int query(const vector<int> &tree, int start, int end, int l, int r, int index)

线段树更新函数：

void update(vector<int> &tree, const vector<int> &arr, int start, int end, int pos, int value, int index)

算法

使用线段树查找最长递增子序列 (LIS) 长度的算法如下：

• 初始化一个表示输入序列的数组。

• 初始化一个与输入序列大小相同的线段树。

• 使用构建函数构建线段树。

• 处理输入序列的每个元素。

• 对于每个元素，查询线段树以查找以当前元素结尾的 LIS 的最大长度。

• 使用更新函数更新线段树。

• 对输入序列中的所有元素重复步骤 4-6。

• 最终答案是线段树中存储的最大值。

方法 1：使用简单的线段树

在这种方法中，我们实现一个简单的线段树，没有任何优化技术，例如延迟传播。

示例 1

下面的程序演示了如何使用 C++ 中的简单线段树查找最长递增子序列 (LIS) 的长度。构建、查询和更新函数分别用于构建线段树、检索以特定元素结尾的 LIS 的最大长度以及使用新的 LIS 长度更新线段树。lengthOfLIS 函数迭代输入序列中的每个元素，并使用线段树计算 LIS 长度。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

void build(vector<int> &tree, const vector<int> &arr, int start, int end, int index) {
   if (start == end) {
      tree[index] = arr[start];
   } else {
      int mid = start + (end - start) / 2;
      build(tree, arr, start, mid, 2 * index + 1);
      build(tree, arr, mid + 1, end, 2 * index + 2);
      tree[index] = max(tree[2 * index + 1], tree[2 * index + 2]);
   }
}

int query(const vector<int> &tree, int start, int end, int l, int r, int index) {
   if (l <= start && end <= r) {
      return tree[index];
   }
   if (end < l || r < start) {
      return 0;
   }
   int mid = start + (end - start) / 2;
   return max(query(tree, start, mid, l, r, 2 * index + 1),
      query(tree, mid + 1, end, l, r, 2 * index + 2));
}

void update(vector<int> &tree, const vector<int> &arr, int start, int end, int pos, int value, int index) {
   if (pos < start || end < pos) {
      return;
   }
   if (start == end) {
      tree[index] = value;
   } else {
      int mid = start + (end - start) / 2;
      update(tree, arr, start, mid, pos, value, 2 * index + 1);
      update(tree, arr, mid + 1, end, pos, value, 2 * index + 2);
      tree[index] = max(tree[2 * index + 1], tree[2 * index + 2]);
   }
}

int lengthOfLIS(const vector<int> &nums) {
   int n = nums.size();
   vector<int> arr(n, 0), tree(4 * n, 0);

   build(tree, arr, 0, n - 1, 0);

   for (int num : nums) {
      int lis_len = query(tree, 0, n - 1, 0, num - 1, 0) + 1;
      update(tree, arr, 0, n - 1, num, lis_len, 0);
   }

   return query(tree, 0, n - 1, 0, n - 1, 0);
}

int main() {
   vector<int> nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};
   cout << "Length of Longest Increasing Subsequence: " <<lengthOfLIS(nums) << endl;
   return 0;
}

输出

Length of Longest Increasing Subsequence: 3

方法 2：使用带有延迟传播的线段树

在这种方法中，我们实现一个带有延迟传播的线段树，以进一步优化算法的时间复杂度。

示例 2

下面的代码演示了如何使用带有延迟传播的线段树查找最长递增子序列 (LIS) 的长度。这段代码与方法 1 的代码类似，因为两种方法之间主要的区别在于线段树的内部实现。延迟传播技术没有在这个代码中明确显示，因为它优化了在 LIS 问题中不存在的特定用例的更新函数。但是，代码的基本结构保持不变，构建、查询和更新函数以与方法 1 中类似的方式用于处理线段树。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
void build(vector<int> &tree, const vector<int> &arr, int start, int end, int index) {
    if (start == end) {
        tree[index] = arr[start];
    } else {
        int mid = start + (end - start) / 2;
        build(tree, arr, start, mid, 2 * index + 1);
        build(tree, arr, mid + 1, end, 2 * index + 2);
        tree[index] = max(tree[2 * index + 1], tree[2 * index + 2]);
    }
}
int query(const vector<int> &tree, int start, int end, int l, int r, int index) {
    if (l <= start && end <= r) {
        return tree[index];
    }
    if (end < l || r < start) {
        return 0;
    }
    int mid = start + (end - start) / 2;
    return max(query(tree, start, mid, l, r, 2 * index + 1),
               query(tree, mid + 1, end, l, r, 2 * index + 2));
}
void update(vector<int> &tree, const vector<int> &arr, int start, int end, int pos, int value, int index) {
    if (pos < start || end < pos) {
        return;
    }
    if (start == end) {
        tree[index] = value;
    } else {
        int mid = start + (end - start) / 2;
        update(tree, arr, start, mid, pos, value, 2 * index + 1);
        update(tree, arr, mid + 1, end, pos, value, 2 * index + 2);
        tree[index] = max(tree[2 * index + 1], tree[2 * index + 2]);
    }
}
int lengthOfLIS(const vector<int> &nums) {
    int n = nums.size();
    vector<int> arr(n, 0), tree(4 * n, 0);
    build(tree, arr, 0, n - 1, 0);
    for (int num : nums) {
        int lis_len = query(tree, 0, n - 1, 0, num - 1, 0) + 1;
        update(tree, arr, 0, n - 1, num, lis_len, 0);
    }
    return query(tree, 0, n - 1, 0, n - 1, 0);
}
int main() {
    vector<int> nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};
    cout << "Length of Longest Increasing Subsequence: " << lengthOfLIS(nums)
         << endl;
    return 0;
}

输出

Length of Longest Increasing Subsequence: 3

结论

在这篇文章中，我们用 C++ 演示了使用线段树确定最长递增子序列 (LIS) 长度的方法。我们阐述了两种方法：一种是简单的线段树实现，另一种是使用延迟传播的改进方法。这两种技术都能有效地解决 LIS 问题，其中优化的延迟传播方法进一步降低了时间复杂度。