模函数

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介绍

• 一个模函数可以用来查找数字的大小，而不管其符号如何。

• 换句话说，模函数给出数字的大小。

• 模函数还确定数字到原点的距离。

• 它始终给出函数的非负值。

• 它几乎用于所有主要的科学测量。

• 模函数表示为as=|x|。

• 在本教程中，我们将学习有关函数、绝对（模）函数、绝对函数图、绝对函数的性质、绝对函数定积分的规则、绝对函数的连续性和可微性、符号函数以及一些解决的示例，以帮助我们更好地理解概念。

函数

• 函数是变量和数字之间特殊类型的关系。

• 函数可以被认为是一组规则，这些规则根据给定的元素产生新的输出。

• 考虑集合 A 和集合 B 与关系 If $\mathit{f}$，如果集合 A 的元素在集合 B 中有其像，则称其为函数。

• 如果$\mathit{f}$是从集合 A 到集合 B 的函数，并且$\mathrm{(a,b) \in \mathit{f}, 那么\: \mathit{f}(a) = b.}$

绝对（模）函数

• 众所周知，模函数给出函数的绝对值，而不管其符号如何。模函数的值始终大于或等于零。它表示为f(x) = |x|，其中 f: R → (0,∞) 且 x ∈ R。

• 对于实数“x”，|x|是 x 的模。如果 x 是大于零的非零实数，则 f(x) 给出 x 的绝对值。

$$\mathrm{\begin{cases}f(x)=x & x\geq 0 \\f(x)=-x & x < 0\end{cases}}$$

绝对函数图

对于变量“x”，取值范围为 -6 到 6，找到 'x' 的正值和负值的模，我们将图形绘制为 'y = x' 和 'y = -x'。

X	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
f(x)=x	6	5	4	3	2	1	0	1	2	3	4	5	6

将其绘制到图形上。

绝对函数的性质

以下是模函数的性质，可以帮助我们更好地理解其应用。

• 性质 1 - 模函数为所有实数值 x 输出绝对值。因此，模函数始终可以为正值。

|x| = p；如果p 大于 0，则 x = ± p；

|x| = p；如果 p 等于 0，则 x = 0；

如果 |x| = p，则 x 不能为零。

• 性质 2 -

  • 情况 1：如果 p 大于 0

    |f(x)| < p 且 p > 0 ⇒ -p < f(x) < p

    |f(x)| > p 且 p > 0 ⇒ -p < f(x)（或）f(x) > p

  • 情况 2：如果 p 小于 0

    |f(x)| < p 且 p < 0；不存在任何解。

    |f(x)| > p 且 p < 0；对于所有实数值 f(x) 都是允许的。

• 性质 3 - 如果 p、q 属于实数，则

  $$\mathrm{|-p| = |p|}$$

  $$\mathrm{|p-q| = 0 \Leftrightarrow p=q}$$

  $$\mathrm{|p+q| \leq |p| + |q|}$$

  $$\mathrm{|p-q| \geq ||p| - |q||}$$

  $$\mathrm{|pq| = |p| |q|}$$

  |p/q| = |p|/|q|，q 不等于零。

绝对函数定积分的规则

规则 1 - 为了计算模函数的定积分，我们通过将给定函数等于零来找到 x 截距。

规则 2 - 为模函数绘制的图形的形状始终为“V”。

规则 3 - 通过设置给定的区间，我们将积分分成几部分并进行积分。

$$\mathrm{\begin{cases}f(x)=x & x\geq 0 \\f(x)=-x & x < 0\end{cases}}$$

模函数的积分可以写成

$$\mathrm{\int \mathit{f}(x)=(\frac{1}{2})x^2+C \:\:\:\:\:\:\: x≥0}$$

$$\mathrm{\int \mathit{f}(x)=-(\frac{1}{2})x^2+C \:\:\:\:\:\:\: x<0}$$

绝对函数的连续性和可微性

绝对连续性允许我们获得模函数的连续性。例如 -

对于模函数 |x+3|+|x-2|，要找到连续性，我们将它分成两个函数 -

|x+3| 和 |x-2|

x=-3 和 x=2

f(x)=-x-3-x+2=-2x-1 如果 x<-3

f(x)=x+3-x+2=5 如果 -3<x<2

f(x)=x+3+x-2=2x+1 如果 x≥2

现在让我们学习绝对函数的可微性。

我们知道 f(x)=|x| 等于 x，如果 x>0，等于 -x 如果 x<0

$$\mathrm{\begin{cases}f(x)=x & x\geq 0 \\f(x)=-x & x < 0\end{cases}}$$

因此，模函数 f(x)=|x| 的导数等于 1，如果 x>0，等于 -1，如果 <0

$$\mathrm{\frac{d\{f(x)\}}{dx}=1,if\: x>0}$$

$$\mathrm{\frac{d\{f(x)\}}{dx}=-1,if\: x<0}$$

模函数的导数：$\mathrm{\frac{d\{|x|\}}{dx}=\frac{x}{\{|x|\}}}$，对于除零之外的所有 x 值。

符号函数

符号函数可以通过以下方式定义

$$\mathrm{f(x)=1,if\: x>0}$$

$$\mathrm{f(x)=0,if\: x=0}$$

$$\mathrm{f(x)=-1,if\: x <0}$$

其中 x 是实数，范围是 {-1,0,1}

解题示例

1.求 x = -2 和 x = 5 时模函数 |x| 的值。

解答

如果 x=-2，则 |x| = |-2| =2

如果 x = 5，则 |x| = |5| = 5

答案

|x| = 2 对于 x = -2 且 |x| = 5 对于 x = 5

2.求函数 |x + 5| = 10 的模。

解答

模函数的值是非负的，出现以下情况 -

如果 x + 5> 0，则模 |x + 5| = x + 5，如果 x + 5 < 0，则 |x + 5| = -(x +5)。

情况 1 - 如果 x + 5> 0，则

|x + 5| = x + 5

⇒ x + 5 = 10

⇒ x = 10-5 = 5

情况 2 - 如果 x +5 < 0，则

⇒ -(x + 5) = 10

⇒ -x - 5 = 10

⇒ x = -5 - 10 = -15

答案：因此，解为 x = 5,-15

结论

模函数可用于查找数字/变量的大小，而不考虑其符号。换句话说，模函数给出数字的绝对值。函数 f(x) 的模由 |x| 给出，其中 x≥0。函数可以被认为是一组规则，这些规则根据给定的元素产生新的输出。x 的函数模，其中 x 属于实数，由

$$\mathrm{\begin{cases}f(x)=x & x\geq 0 \\f(x)=-x & x < 0\end{cases}}$$

所有实数的集合构成模函数的定义域。

常见问题解答

1.定义符号函数的范围。

符号函数的范围是 {-1,0,1}

2.为什么模函数是正数？

大于零的数字的模是正数，小于零的数字的模也是正数，而不管其符号如何。因此，模函数给出正值。

3.模函数的顶点是什么？

对于 y=|x|，模函数的顶点是 (0,0)。

4.模函数的范围是什么？

一组所有大于或等于零的数字是模函数的范围。

5.模函数的导数是什么？

模函数在实线上不可微，但在其某些部分可微，模函数的导数为

$$\mathrm{\frac{d\{f(x)\}}{dx}=1,if\: x>0}$$

$$\mathrm{\frac{d\{f(x)\}}{dx}=-1,if\: x<0}$$