配对样本t检验

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介绍

在统计学中，配对样本t检验是一种用于比较两组样本之间数据的工具，它确定给定测量值之间的平均差异是否为零。在统计学中，双样本t检验是用于比较两个数据集均值的工具。这些检验也称为学生t检验，检验结果用于评估两个样本均值之间的差异。这种差异不太可能是由于抽样误差或偶然性造成的。配对样本t检验用于比较两个数据集的均值，其中我们获得两个样本，并进行比较以确定差异是否为零。

定义

当每个样本都由一对测量值进行评估时，使用配对样本t检验，其中配对样本t检验确定这些样本的平均变化是否为零。配对样本t检验用作一种统计程序，使用观察结果来得出数据集之间的结论。

例如

• 当对同一受试者进行了两次观察（例如，特定观察结果的某人的诊断测试结果）。

• 某类测量的两组观察结果，其中两组观察结果都属于同一受试者。（例如，使用身高、体重和年龄的体重指数）。

公式

使用配对样本t检验的公式时，遵循两个假设，即零假设和备择假设。

在零假设中，假设配对样本的均值之差为零。另一方面，在备择假设中，假设配对样本之间的差异不为零。根据结果的高低值，备择假设还有进一步的扩展。

上述假设可以表示为：

零假设，H₀：d₁ = d₂ 或 H₀：d₁ - d₂ = 0。

备择假设，H₁：d₁≠d₂ 或 H₁：d₁ - d₂ ≠ 0。

这里：

• d₁ 是样本1的均值

• d₂ 是总体中样本2的均值

计算配对样本t检验的公式：

$$\mathrm{t = \frac{m}{\frac{s}{√n}}}$$

其中，m 是均值，s 表示均值差 (d) 的标准差，n 表示“d”的大小。

表格

下表是配对样本t检验表，允许将t检验中的t值解释为陈述形式。下表给出：

双尾显著性
自由度 (n-1)	$$\mathrm{\alpha=0.20}$$	0.1	0.05	0.02	0.01	0.002
1	3.078	6.314	12.706	31.821	63.657	318.3
2	1.886	2.92	4.303	6.965	9.925	22.327
3	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	10.214
4	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	7.173
5	1.476	2.015	2.571	3.305	4.032	5.893
6	1.44	1.943	2.447	3.143	3.707	5.208
7	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.785
8	1.397	1.86	2.306	2.896	3.355	4.501
9	1.383	1.833	2.262	2.821	3.25	4.297
10	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	4.144
11	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	4.025
12	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.93
13	1.35	1.771	2.16	2.65	3.012	3.852
14	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.787
15	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.733

也称为依赖样本t检验，这告诉我们两个观察结果是配对的或依赖的，因为它们包含相同受试者的数据。

配对t检验与非配对t检验

配对t检验和非配对t检验有一些区别，可以列为：

配对t检验	非配对t检验
用于比较同一组或项目在两种相似情况下的平均差异。	当比较两组独立样本之间的平均差异时，使用非配对t检验。
在非配对t检验中，假设两个数据集之间的方差相等。	在配对t检验中，不假设两个数据集之间的方差相等。
使用两个因变量。	使用一个因变量和一个自变量。

如何进行配对样本t检验

让我们假设对n名学生进行了一次模块学习前的诊断测试，然后在完成模块学习后第二次进行相同的诊断测试。现在我们想了解学生在该模块方面的能力（如知识和技能）的具体改进。我们学生群体中的结果可用于比较该模块的效果。

让我们假设模块1和模块2的结果数据集为A和B，其中$\mathrm{x_i \in A, y_i \in B}$。其中i = 1, 2,……., n。以下是应用配对样本t检验的步骤：

• 根据零假设，我们假设实际均值差为零。

• 计算两组观察值之间的差异 (d_i = y_i- x_i)。

• 确定均值差，$\mathrm{\underline{d}}$。

• 评估标准差 (SD)，然后确定标准误差，$\mathrm{SE(\underline{d}) =SD/\sqrt{n}}$。

• t统计量值由$\mathrm{T=\underline{d}\: SE(\underline{d})}$确定。考虑到零假设，自由度取为“n − 1”。

• 参考t分布表，并将T与t_n-1分布进行比较，我们得到配对样本t检验的p值。

已解决示例

让我们假设学生在两次不同测试中的分数如下所示。

学生	测试1分数	测试2分数	差异
A	63	69	6
B	65	65	0
C	56	62	6
D	100	91	-9
E	88	78	-10
F	83	87	4
G	77	79	2
H	92	88	-4
I	90	85	-5
J	84	92	8
K	68	69	1
L	74	81	7
M	87	84	-3
N	64	75	11
O	71	84	13
P	88	82	-6

假设

设H₀为分数之间的均值差，假设为零。

设H₁为分数之间的均值差，不认为是零。

均值差；$\mathrm{\overline{d}=1.31}$

标准误差 − $\mathrm{(\overline{d}) =SD/\sqrt{n}=1.75}$

假设我们的显著性水平为α = 0.05。

现在我们计算检验统计量 t= $\mathrm{(\overline{d})/SE=1.31/1.75=0.750}$

自由度 df=n-1=15。

参考上表，α = 0.05 和 15 个自由度的 t 值为 2.131。

通过将 t 统计量值与 t 值进行比较，我们观察到 0.750 小于 2.131。因此，我们可以同意我们的假设，即均值差为零。两次考试似乎同样困难。

结论

在统计学中，双样本t检验是用于分析两个总体均值的工具。这些检验也称为学生t检验。检验结果用于评估两个数据集均值之间的差异。

例如，对同一受试者进行了两次观察（例如，特定观察结果的某人的诊断测试结果）。使用配对样本t检验的公式时，遵循两个假设，即零假设和备择假设。配对样本t检验可用于比较同一数据集或总体在两种情况下的均值。另一方面，非配对t检验比较两个独立数据集的均值。

常见问题

1. 配对样本t检验是否优于非配对样本t检验？为什么？

人们认为配对样本t检验比非配对样本t检验更准确，因为在配对样本t检验中，相同的因变量消除了样本之间的显著偏差，而非配对样本t检验则不然。

2. 在配对样本t检验中，组间的偏差可以相等吗？

不可以，在配对样本t检验中，组间的偏差不相等。

3. 在非配对样本t检验中，组间的偏差可以相等吗？

可以，在非配对样本t检验中，组间的偏差相等。

4. 如果非配对样本t检验中组间的偏差不相等，该怎么办？

对于非配对样本t检验，如果偏差不匹配，则进行 Welch 检验。

5. 零假设和备择假设之间有什么区别？

对于零假设，总体的均值差等于零；而在备择假设中，总体的均值差不等于零。