位置数字系统

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数字是一种用于表示算术值、度量或物理量的计数的方法。数字系统被定义为命名和表示数字的方法。数字系统的概念有助于定义与数字相关的规则以及数字的不同运算。

数字系统由其基数或底数确定。数字系统的基数或底数只不过是数字系统中用于表示不同数字的符号总数。例如，在十进制数字系统中，有 10 个符号，即 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。因此，十进制数字系统的基数或底数为 10。

数字系统大致分为两种类型，即 -

• 位置数字系统

• 非位置数字系统

在本文中，我们将详细讨论位置数字系统。所以让我们从位置数字系统的基本介绍开始。

什么是位置数字系统？

位置数字系统是一种数字系统，其中数字（或符号）的权重或值取决于其在数字中的位置。位置数字系统也称为加权数字系统。这是因为，在位置数字系统中，数字的位置与一个权重相关联。

因此，在位置数字系统中，数字的每个数字根据其在数字中出现的位置进行加权。当我们沿着数字向左移动时，权重以等于数字系统基数的常数因子增加。此外，在位置数字系统中，使用基点 (.) 来区分对应于整数权重的位置和对应于分数权重的位置。

位置数字系统的类型

有四个非常流行的位置数字系统，它们是

• 十进制数字系统

• 二进制数字系统

• 八进制数字系统

• 十六进制数字系统

让我们详细讨论每个数字系统。

十进制数字系统

十进制数字系统是我们最熟悉的数字系统。它被称为十进制数字系统，因为它的基数或底数为十 (10)。这意味着它有 10 个独特的符号，即 0、1、2、3、4、5、6、7、8 和 9 来表示系统中的不同数字。此外，其基数（即十）没有符号。

十进制数字系统是一种位置或加权数字系统。因此，在此数字系统中，符号的值取决于其相对于小数点或基点的位 置（或位置）。

在十进制数字系统中，任何数字，无论是整数、分数还是混合数，无论大小，都可以仅使用这十个符号来表示。每个符号都称为数字。

在十进制数中，最左边的数字在数字中所有数字中具有最大的位置权重，这称为MSD（最高有效位）。另一方面，最右边的数字在数字中所有数字中具有最小的位置权重，称为LSD（最低有效位）。

在十进制数字系统中，小数点左侧的数字构成十进制数的整数部分，而小数点右侧的数字构成数字的小数部分。十进制数的整数部分中的数字的权重为 10（基数）的正幂，而十进制数的小数部分中的数字的权重为 10 的负幂。

十进制数通常表示为，

$$\mathrm{d_nd_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0\cdot d_{-1}d_{-2}...d_{-m}}$$

此数字的值计算如下：

$$\mathrm{(d_n\times 10^n)+(d_{n-1}\times 10^{n-1})+(d_{n-2}\times 10^{n-2})+...+(d_1\times 10^1)+(d_0\times 10^0)+(d_{-1}\times 10^{-1})+(d_{-2}\times 10^{-2})+...+(d_{-m}\times 10^{-m})}$$

例如，考虑十进制数 512.26，则

$$\mathrm{5\times 10^2+1\times 10^1+2\times 10^0+2\times 10^{-1}+6\times 10^{-2}}$$

所以，

$$\mathrm{500 + 10 + 2 + 0.2 + 0.06}$$

考虑另一个具有相同数字的十进制数 125.62，则它可以扩展为，

$$\mathrm{1\times 10^2+2\times 10^1+5\times 10^0+6\times 10^{-1}+2\times 10^{-2}}$$

或者，

$$\mathrm{100 + 20 + 5 + 0.6 + 0.02}$$

因此，从这两个例子可以清楚地看出，当放置在不同的位置时，相同的数字具有不同的值。这也证明了十进制数字系统是一种位置数字系统。

二进制数字系统

二进制数字系统也是一种位置数字系统或加权数字系统。二进制数字系统的基数或底数为 2，这意味着它有两个唯一的符号，即 0 和 1 来表示数字。与十进制数字系统类似，二进制数字系统的基数本身不能是符号。

在二进制数字系统中，每个数字称为位（二进制数字）。因此，二进制数只不过是二进制 0 和 1 的字符串。有一个二进制点（基点）将二进制数的整数部分和小数部分分开。二进制数中每个二进制数字或位根据其相对于二进制点的位置具有权重。

在二进制数字系统的情况下，每个位置的权重以 2 的幂表示，即 $2^n$，其中 n = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…. 2 的正幂表示二进制点左侧一位的权重，而 2 的负幂表示二进制点右侧一位的权重。

一个二进制数在其整数部分有 $(n^{+1})$ 位，在其小数部分有 –m 位，表示为，

$$\mathrm{d_nd_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0\cdot d_{-1}d_{-2}...d_{-m}}$$

此二进制数的十进制等效值由下式给出：

$$\mathrm{(d_{n}\times 2^n)+(d_{n-1}\times 2^{n-1})+(d_{n-2}\times 2^{n-2})+...+(d_1\times 2^1)+(d_0\times 2^0)+(d_{-1} \times 2^{-1})+(d_{-2}\times 2^{-2})+...+(d_{-m}\times 2^{-m})}$$

二进制数字系统主要用于数字系统，因为数字系统使用双状态开关设备，如二极管、晶体管等。其中，二进制 1 用于表示设备的 ON 状态，二进制 0 用于表示设备的 OFF 状态。

八进制数字系统

八进制数字系统再次是一种位置数字系统。这意味着八进制数中数字的值取决于其在数字中的位置。八进制数字系统的基数或底数为 8，因此八进制数字系统有八个唯一的符号，即 0、1、2、3、4、5、6 和 7。八进制数字系统广泛用于早期的小型计算机。

具有“n+1”位整数部分和“–m”位小数部分的八进制数的通用形式为：

$$\mathrm{d_nd_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0\cdot d_{-1}d_{-2}...d_{-n}}$$

此八进制数的十进制等效值为：

$$\mathrm{(d_n\times 8^n)+(d_{n-1}\times 8^{n-1})+(d_{n-2}\times 8^{n-2})+...+(d_1\times 8^1)+(d_0\times 8^0)+(d_{-1}\times 8^{-1})+(d_{-2}\times 8^{-2})+...+(d_{-m}\times 8^{-m})}$$

十六进制数字系统

十六进制数字系统也是一种位置或加权数字系统。十六进制数字系统的基数或底数为 16，这意味着此系统中有十六个独立的符号。这些符号是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E 和 F。十六进制数字系统中的所有数字都可以使用这些符号表示

结论

从以上讨论中，我们可以得出结论，数字的值取决于其在数字中的位置的数字系统被称为位置数字系统。有四个基本的位置数字系统，即十进制数字系统、二进制数字系统、八进制数字系统和十六进制数字系统。所有这些数字系统都具有其独特的特征，并用于计算和信息技术的不同方面。