Python程序：计算将矩阵分割成k块的方法数

假设我们有一个二进制矩阵和另一个值k。你想将矩阵分成k块，使得每块至少包含一个1。但是切割有一些规则需要遵循：1. 选择方向：垂直或水平 2. 选择矩阵中的一个索引进行切割，分成两部分。 3. 如果垂直切割，则不能再切割左部分，只能继续切割右部分。 4. 如果水平切割，则不能再切割上部分，只能继续切割下部分。所以我们必须找到划分矩阵的不同方法的数量。如果答案非常大，则返回结果模 (10^9 + 7)。

所以，如果输入像这样：

1
1
0
1
0
1
1
1
1

k = 2，则输出将为4，因为我们可以垂直切割两次，水平切割两次。

为了解决这个问题，我们将遵循以下步骤：

  • p := 10^9 + 7
  • m := 矩阵的行数，n := 矩阵的列数
  • counts := 一个空映射
  • 对于 i 从 m - 1 到 0：
    • 对于 j 从 n - 1 到 0：
      • counts[i, j] := counts[i + 1, j] + counts[(i, j + 1) ] - counts[(i + 1, j + 1) ] + matrix[i, j]
  • 定义一个函数 f()。它将接收 x, y, c
  • count := counts[x, y]
  • 如果 c 等于 0，则
    • 如果 count > 0 则返回 1，否则返回 0
  • ans := 0
  • 对于 i 从 x + 1 到 m - 1：
    • 如果 0 < counts[(i, y)] < count，则
      • ans := ans + f(i, y, c - 1)
  • 对于 j 从 y + 1 到 n - 1：
    • 如果 0 < counts[(x, j)] < count，则
      • ans := ans + f(x, j, c - 1)
  • 返回 ans mod p
  • 从主方法调用并返回 f(0, 0, k - 1)

让我们看看下面的实现，以便更好地理解：

示例

在线演示

from collections import defaultdict
class Solution:
   def solve(self, matrix, k):
      p = 10 ** 9 + 7

      m, n = len(matrix), len(matrix[0])
      counts = defaultdict(int)
      for i in range(m)[::-1]:
         for j in range(n)[::-1]:
            counts[(i, j)] = (counts[(i + 1, j)] + counts[(i, j + 1)] - counts[(i + 1, j + 1)] + matrix[i][j])

      def f(x, y, c):
         count = counts[(x, y)]
         if c == 0:
            return 1 if count > 0 else 0

         ans = 0
         for i in range(x + 1, m):
            if 0 < counts[(i, y)] < count:
               ans += f(i, y, c - 1)
         for j in range(y + 1, n):
            if 0 < counts[(x, j)] < count:
               ans += f(x, j, c - 1)

         return ans % p
      return f(0, 0, k - 1)
     
ob = Solution()
matrix = [
   [1, 1, 0],
   [1, 0, 1],
   [1, 1, 1],
]
k = 2
print(ob.solve(matrix, k))

输入

[  
[1, 1, 0],  
[1, 0, 1],  
[1, 1, 1]
], 2

输出

4

更新于：2020年12月3日

163 次浏览

开启您的职业生涯

完成课程获得认证

开始
广告