2的平方根

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介绍

2的平方根用符号√表示，写成$\mathrm{\sqrt{2}\:=\:1.414\:......}$。为了将其与具有相同属性的负数区分开来，从技术上讲应将其称为2的主平方根。

根据勾股定理，在边长为一个单位的正方形中，对角线的长度在几何上等于2的平方根。这可能是发现的第一个无理数。由于它的小数位数无限且无法表示为分数，因此根2是一个无理数。因此，无法计算根2的精确值。

什么是平方根？

在数学中，平方根是一个因子，当它自身相乘时，等于原始整数。例如，16的平方根是4和-4。早在公元前第二个千年，巴比伦人就掌握了计算平方根的有效方法。

2的平方根的计算

我们可以使用长除法计算2的平方根，如下所示

什么是2的平方根？

简单来说，平方根就是平方运算的逆运算。2的平方根的符号是$\mathrm{\sqrt{2}}$。这个数自身相乘，结果为2。古希腊数学家发现了一个在古代永远无法表示为$\mathrm{\frac{p}{q}}$的数

其中𝑝 & 𝑞是整数，且𝑞不等于0。这表明$\mathrm{\sqrt{2}}$是无理数。在几何学中，$\mathrm{\sqrt{2}}$是一个非常有用的常数。假设您想确定边长为1的正方形的对角线的长度。

用序列极限法求2的平方根

为了用序列极限法求2的平方根，我们将构造一个收敛到$\mathrm{\sqrt{2}}$的实数序列$\mathrm{(x_{n})}$。

令$\mathrm{x_{1}>0}$为任意数，并定义$\mathrm{x_{n\:+\:1}\:=\:\frac{1}{2}(x_{n}\:+\:\frac{2}{x_{n}})\:,\:n\:\varepsilon\:N}$

我们现在证明$\mathrm{{x_{n}}^{2}\:\geq\:a\:,\:n\:\geq\:2}$ 因为$\mathrm{x_{n}}$满足二次方程$\mathrm{{x_{n}}^{2}\:-\:2x_{n\:+\:1}x_{n}\:+\:2\:=\:0}$ 这个方程有一个实根。因此$\mathrm{{4x_{n\:+\:1}}^{2}\:-\:4a\:\geq\:0}$

这意味着$\mathrm{{x_{n}}^{2}\:\geq\:a.}$

现在要看出$\mathrm{(x_{n})}$是递减的，我们注意到对于$\mathrm{n\:\geq\:2}$，我们有

$$\mathrm{x_{n}\:-\:x_{n\:+\:1}\:=\:x_{n}\:-\:\frac{1}{2}(x_{n}\:+\:\frac{2}{x_{n}})\:=\:\frac{1}{2}\frac{({x_{n}}^{2}\:-\:2)}{x_{n}}\:\geq\:0}$$

因此，

$$\mathrm{x_{n\:+\:1}\:\leq\:x_{n}\:,\:n\:\geq\:2}$$

单调收敛定理表明(𝑥𝑛)的极限存在，且极限必须满足关系$\mathrm{x\:=\:\frac{1}{2}(x\:+\:\frac{2}{x})}$

只要它遵循$\mathrm{x\:=\:\frac{2}{x}\:or\:x^{2}\:=\:2\:thus\:\sqrt{2}\:=\:x}$

因此，序列$\mathrm{(x_{n})}$收敛到$\mathrm{x}$

我们有$\mathrm{x_{n}\:\geq\:\sqrt{2}\:,\:n\:\geq\:2}$ 当遵循$\mathrm{\frac{2}{x_{n}}\leq\:\sqrt{2}\:\leq\:x_{n}}$

因此，我们得到了，

$$\mathrm{0\:\leq\:x_{n}\:-\:\sqrt{2}\:\leq\:x_{n}\:-\:\frac{}{x_{n}}\:=\:\frac{{x_{n}}^{2}\:-\:2}{x_{n}}\:,\:n\:\leq\:2}$$

$$\mathrm{\frac{{x_{n}}\:-\:2}{x_{n}}\:\geq\:0}$$

利用这个不等式，我们可以找到任意精度的2的平方根

2的平方根是否为无理数？

$\mathrm{\sqrt{2}}$的真实值未知。最多25位小数，$\mathrm{\sqrt{2}}$的值为1.4142135623730950488016887。$\mathrm{\sqrt{2}}$的值目前已知到万亿位小数。因此，2是无理数。

例题

1)求由4个平方单位组成的正方形的对角线长度？

答案 - 我们知道单位正方形的对角线长度为$\mathrm{\sqrt{2}}$单位。为了确定对角线长度，我们必须考虑两个单位正方形的对角线长度。一个单位正方形的对角线等于2个单位。正方形的对角线之和等于2个单位。因此，对角线长度为$\mathrm{2\sqrt{2}}$。

2)2的平方根的连分数形式是什么？

答案 - 2的平方根的连分数写成如下形式：

$$\mathrm{\sqrt{2}\:=\:1\:+\:\underline{\:\:\:\:1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:2\:+\:\underline{\:\:\:\:1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:2\:+\:\underline{\:\:\:\:1\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:2\:+\:\:\frac{1}{2\:+}\:.......}$$

3)一个数是其自身的平方，求这个数？

答案 - 令𝑥为给定数，已知$\mathrm{x^{2}\:=\:x}$，很明显$\mathrm{x\:=\:1}$。只有一个数满足给定条件，这个数是1。因此，所需数字为1。

4)如果$\mathrm{x^{2}\:=\:4096}$，确定𝒙的值？

答案 - 因为$\mathrm{x^{2}\:=\:4096\:\Longrightarrow\:x\:=\:\sqrt{4096}\:=\:\sqrt{2\times\:2\times\:4\times\:4\times\:8\times\:8}}$

$$\mathrm{=\:\sqrt{2^{2}\times\:4^{2}\times\:8^{2}}\:=\:2\times\:4\times\:8\:=\:64}$$

因此，𝑥的值为64。

5)计算以下内容

$$\mathrm{\sqrt{\frac{0.64\times\:1.21\times\:0.04}{0.09\times\:0.16\times\:12.1}}}$$

答案 -

$$\mathrm{\sqrt{\frac{0.64\times\:1.21\times\:0.04}{0.09\times\:1.6\times\:12.1}}\:=\:\sqrt{\frac{64\times\:121\times\:4\times\:10^{-6}}{9\times\:16\times\:121\times\:10^{-4}}}\:=\:\sqrt{\frac{16}{9}\times\:10^{-2}}\:=\:\frac{4}{3}\times\:10^{-1}\:=\:\frac{2}{15}}$$

因此，$\mathrm{\sqrt{\frac{0.64\times\:1.21\times\:0.04}{0.09\times\:0.16\times\:12.1}}\:的值为2\:\colon\:15}$

结论

2的平方根用符号√表示，写成$\mathrm{\sqrt{2}}$ = 1.414 ….. 2的平方根是一个无理数，因为它不能表示为p/q的形式，其中p和q是整数，且q不等于0。

常见问题

1. 平方根的另一个名称是什么？

数学符号√表示平方根符号，通常称为平方根号。在语言中，这个符号被称为根号。

2. 平方根可以是负数吗？

由于平方可以是正数或零，因此负数实际上没有平方根。无理数由非完全平方的数的平方根组成。因此，它们无法表示为两个整数的商。

3. 什么是平方数？

非正式地：当您将一个整数（一个“整数”，正数、负数或零）自乘两次时，结果称为平方数、完全平方或简称“平方”。因此，平方数包括0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144等等

4. 平方根到底是什么？

一个值自乘后得到该数，就是该数的平方根。例如，4是16的平方根，因为4 × 4 = 16。如您所见，-4也是16的平方根，因为(-4) (-4) = 16

5. 平方数有哪些特征？

平方数的个位数总是后跟数字0、1、4、5、6或9。当一个数字的个位数为4和6时，其平方结果总是以六结尾。如果一个数字的个位数为1或9，则其平方以1结尾。平方数的末尾零必须始终为偶数。