后继图

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简介

后继图是定向图的模型，其中每个节点存储其后续节点的列表。后继图优于邻接矩阵或列表，因为它们可以加快对输出边的访问速度。这使得它们非常适合需要快速访问后继顶点的算法。对于具有大量点但边不多的图，这种设计选择效果很好。

使用邻接矩阵表示后继图

后继图仅存储每个顶点的直接后继，从而减少了内存使用量，并加快了密集图（具有高出度的图）中边的插入和删除操作的速度。

邻接表与后继图的比较

对于密集图，邻接表可能会占用大量内存；后继图优化了内存使用并加快了边的操作速度，但执行前驱查询的速度可能会较慢。

将邻接表转换为后继图

将邻接表转换为后继图涉及识别直接后继，在紧凑的数据结构中进行组织，并遍历列表，保留连接信息并减少内存开销。

后继图操作

• 添加顶点及其后继 -

向后继图添加新顶点时，我们还必须定义其直接后继。通过更新相应的数据结构，可以有效地将新顶点集成到图中，以便在遍历和其他与图相关的操作期间轻松访问其后继。

• 删除顶点并更新后继 -

当从后继图中删除顶点时，我们需要调整连接到已删除顶点的其他顶点的后继。这确保了图保持一致，并避免在后续操作和遍历期间出现潜在问题。

• 查找给定顶点的后继 -

在后继图中给定一个特定顶点，查找其直接后继是一个至关重要的操作。借助图的紧凑表示，此过程变得更快且更高效，从而可以快速访问相邻顶点以执行各种图算法。

• 使用反向后继图确定前驱 -

由于后继图优先考虑直接后继，因此确定前驱的效率较低。但是，可以创建反向后继图，其中每个顶点的后继成为其前驱。通过将标准的后继图操作应用于此反向结构，我们可以有效地找到给定顶点的前驱。

后继图上的遍历算法

遍历算法对于有效地探索图至关重要，在后继图上，它们可以通过直接后继有效地进行遍历。

• 深度优先搜索 (DFS) -

DFS 是一种图遍历算法，它沿着每个分支尽可能地探索，然后再回溯，当应用于后继图时，它可以有效地遍历直接后继，从而实现各种与图相关的应用。

算法

DFS(graph, start_vertex):
   Create a stack data structure
   Create a set to keep track of visited vertices 

   Push start_vertex to the stack
   Mark start_vertex as visited

   while the stack is not empty:
      current_vertex = pop from the stack

      for each neighbor in graph[current_vertex]:
         if neighbor is not in the visited set:
            Push neighbor to the stack
            Mark neighbor as visited

• 广度优先搜索 (BFS) -

BFS 是一种图遍历算法，它在移至下一层之前探索当前深度处的全部顶点，当在后继图上使用时，它可以有效地探索直接后继，从而提供有关连通分量和最短路径的有用见解。

算法

BFS(graph, start_vertex):
   Create a queue data structure
   Create a set to keep track of visited vertices

   Enqueue start_vertex to the queue
   Mark start_vertex as visited

   while the queue is not empty:
      current_vertex = dequeue from the queue

      for each neighbor in graph[current_vertex]:
         if neighbor is not in the visited set:

         Enqueue neighbor to the queue
         Mark neighbor as visited

DFS 和 BFS 都有

• 时间复杂度 - O(V + E)

• 空间复杂度 - O(V)

其中，V 表示正在处理的图中的顶点数，E 表示边数。

后继图的应用

• 拓扑排序

拓扑排序是在需要特定执行顺序（没有任何循环依赖关系）的任务中使用的重要算法。后继图提供了用于拓扑排序的有效表示。该算法涉及重复选择没有入边的顶点，并将其从图中删除。后继图允许快速识别没有前驱的顶点，从而简化了排序过程。

现实世界中的示例和用例

• 任务调度：后继图可用于在项目管理中调度任务，确保依赖于其他任务的任务按正确的顺序执行。

• 编译器优化：在编译器中，拓扑排序有助于确定代码生成的最佳顺序，减少不必要的依赖关系。

• 循环检测

检测图中的循环对于许多与图相关的难题（如死锁检测、资源分配等）至关重要。后继图可以有效地识别图中的循环，因为循环表示数据结构中的循环。

在各种与图相关的难题中的重要性

• 死锁检测：后继图可以帮助识别资源之间的循环依赖关系，这可能导致系统死锁。

• 资源分配：检测资源分配图中的循环可以防止无限循环并确保适当的资源分配。

• 最短路径算法

后继图在实现最短路径算法（如 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法）中发挥着重要作用。

• 使用后继图的 Dijkstra 算法

在 Dijkstra 算法中，后继图有助于有效地找到从单个源顶点到加权图中所有其他顶点的最短路径。该算法迭代地选择距离源顶点最小的顶点，并且借助后继图，可以更有效地执行这些操作。

• 带有后继图表示的 Bellman-Ford 算法

Bellman-Ford 算法也可以使用后继图进行优化。该算法即使在具有负边权重的图中也能找到从单个源顶点到所有其他顶点的最短路径。后继图可以简化松弛边和更新最短路径信息的过程。

• 确定两个顶点之间是否存在路径

后继图可以快速验证两个给定顶点之间是否存在路径。通过搜索一个顶点并检查另一个顶点是否可达，我们可以确定路径的存在。

结论

总之，后继图在与图相关的难题的数据结构中被证明是一种有价值的表示。它们对拓扑排序、循环检测、最短路径算法和可达性的有效处理使其成为必不可少的工具。凭借其多功能性，后继图有助于优化基于图的应用，并促进各个领域的解决问题。