变量定义

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引言

变量用于表示方程式中的未知值。在代数中，我们可以使用加法(+)、减法(-)、乘法(×)和除法(÷)这四种基本运算，与算术相同。在代数中，项是由两个不同部分组成的数学表达式：数字部分和变量部分。在一个项中，数字部分和变量部分相乘，并且不使用乘号写出来。项可以包含任意数量的变量。

表达式

一个表达式包含一个或多个项，其中变量的幂可以是任何值，包括正数、负数或分数。

例如，$\mathrm{3x^2-5x +2,7+2x^{-1},3 + x^{\frac{1}{2}}}$, 等。

表达式中不能包含等号。代数表达式的不同部分是

部分	含义	示例
系数	变量前的数字部分	4x,3a 4 和 3 是系数。
变量	变量	4x,3a x 和 a 是变量。
常数	没有变量的数字。	4x+5,3a+2 5 和 2 是常数。

方程式

方程式是一个数学语句，其中两边相等。在代数方程中，我们可以通过将未知值与已知值相等来找出未知值。从给定的代数方程中，我们需要简化并重新排列方程以找到未知值。

代数方程具有相同的变量，在同一个问题中不能用于不同的未知数。我们可以使用两个不同的字母来表示相同的值。

多项式

多项式是一个代数方程，包含一个或多个项，其中所有变量都只有正数幂。多项式由任意数量的项组成；它就像一个由加法或减法连接的项链。项的次数由变量部分的幂决定。

当有两个或多个次数时，将每个变量的幂加起来以得到项的次数。多项式通常以其最高项的次数来表示。多项式的一般形式为

$$\mathrm{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}......a_1 x^1+a_0}$$

多项式根据其次数进行分类，

次数	类型	描述	示例
次数 1	一次多项式	1 是多项式中最高的幂	4x,3a
次数 2	二次多项式	2 是多项式中最高的幂	x2+2x。
次数 3	三次多项式	3 是多项式中最高的幂	x3+x2+x
次数 0	常数多项式	0 是多项式中最高的幂	60 = 6

多项式 p(x) 的零点是一个数 'a'，使得 p(x) = 0

变量

变量是一个符号或字母，表示一个数学量，该量要么是任意的，要么是未知的。字母如 x、y 和 z 用于表示变量。变量表示未知值。变量可能只有一个值，也可能根据上下文或情况而变化。例如，两倍的某个东西等于十。这里 2x = 10，其中 x = 5。我们可以得出结论，五的两倍等于十。

多项式根据变量数量进行分类，例如

• 一个变量的多项式 例如 5x²-6x+2

• 两个变量的多项式 例如：2x + 4y

• 三个变量的多项式 例如：2x + 4y + 7z

解题示例

1)在给定的表达式 112x+45 中识别项、系数和常数

答案：项 = 112x, 45

系数 = 112

常数 = 45

2)当 x =5 时，计算表达式 1.5x^2-2 的值。

答案：1.5x²-2 = 1.5(5)²-2

= 1.5 (25) - 2

= 37.5 - 2 = 35.5

3)如果 12 + 3x 比 12 大 9。6x 的值是多少？

答案：12 + 3x = 9 + 12

12 + 3x = 21

3x = 21 - 12

3x = 9

x = 3

现在 6x 的值 = 4 (3)

6x = 12

4)将给定的多项式 (4x²+3x+6) 和 (3x²+5x+12) 相加

答案：(4x²+3x+6)+(3x²+5x+12) = 4x²+3x+6+3x²+5x+12

= 7x²+8x+18

5)将给定的多项式 (11x²+6x+25) 和 (4x²+3x+13) 相减

答案：(11x²+6x+25)- (4x²+3x+13) = 11x²+6x+25-4x²-3x-13

= 7x²+3x+12

6)将多项式 x²+7x+12 除以 x + 3

答案：$\mathrm{\frac{x^2+7x+12}{x+3} =\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}}$

约去公因式，我们得到，

$$\mathrm{\frac{x^2+7x+12}{x+3} = x+4}$$

7)将多项式 x²+4x+3 和 x + 2 相乘

答案：(x²+4x+3 )(x+2) =x³+4x²+3x + 2x²+8x+6

= x³+ 6x²+11x+6

8) 检查 x =3 是否是给定多项式 x²-3x 的零点

答案：p(x) = x²-3x

当 x = 2 时，我们得到，

p(2) = (3)²-3(3)

= 9 - 9

= 0

9)如果 x³+ 6x²+3x-5 除以 x +2，则余数是多少？

答案：将除数等于 0

x +2 = 0

x = -2

代入给定的多项式，我们有

x³+ 6x²+3x+5 = (-2)³+ 6(-2)²+3(-2)-5

= -8 +24 -6 -5

= 24 - 19

= 5

结论

我们使用不同的名称来表示方程、表达式或多项式的不同部分。它们是变量、系数和常数。在项中，系数总是出现在变量之前。数字部分称为系数。变量部分是字母部分，并带有一个或多个幂。多项式可以根据变量的数量、项的数量和次数进行分类。

常见问题解答

1. 多项式中的首项系数是什么？

在多项式中，首项系数是首项或次数最高的项的系数。例如，2x²+4x+3 这里 2x² 是首项，2 是首项系数。

2. 根据项数，多项式的类型有哪些？

多项式根据项数进行分类，它们是

• 单项式，只有一个项 例如 2x²

• 二项式，有两个项 例如 2x² + 2x

• 三项式，有三个项 例如 2x²+ 3x+ 2

• 多项式，有许多项 例如 2x⁴+ 3x³+ 35x + 35

3. 如何使用综合除法方法除以两个多项式？

为了除以较长的多项式，我们可以执行长除法方法和综合除法方法。在综合除法方法中，我们将除数的值等于零，并代入从除法中获得的余数。

4. 分配律如何在代数中起作用？

分配律适用于加法和减法，例如

$$\mathrm{a(b+c) = ab+ac\:\: and\:\: a(b-c) = ab -ac}$$

但分配律不适用于乘法和除法。

5. 代数表达式成为多项式的条件是什么？

为了使代数表达式成为多项式，它必须满足以下条件。

• 变量中的所有幂都必须为正数。例如 2x²+ 3x+ 2。

• 任何变量中的幂都不能为分数。

6. 多项式零点的可能条件是什么？

多项式的零点具有以下条件

• 多项式的零点不必为零。

• 零可能是多项式的零点。

• 每个一次多项式只有一个零点。

• 一个多项式有一个或多个零点。