均值定义

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引言

在一个组织中，为了分析和表示的目的，需要收集和处理大量数据。在这个方向上，统计参数帮助我们有效地分析数据。在上述目的中，统计学中使用了各种均值。在本教程中，我们将学习均值的含义、类型、它们之间的关系，以及对其他集中趋势的简要讨论，并附带解题示例。

数据

• 数据是一个集合词，代表数量或类别值的集合或排列。

• 数据收集的目的是分析过程中特定事件。

• 当数据系统地排列时，它被称为信息。

• 数据可以根据值或收集来源进行分类。

下面总结了关于各种数据类型的简要讨论。

序号	数据类型	含义
1	定量数据	这些数据类型可以被测量或量化，并用算术值表示。可以对它们进行代数运算。
2	定性数据	数据不能被测量或用数值表示。它们要么是特征，要么是属性。
3	原始数据	数据是第一次收集的，并且对这些数据没有进行任何统计运算。
4	次级数据	这些类型的数据是从已发表的或未发表的来源收集的。这些数据已经进行了统计运算。
5	离散数据	它代表数据的特定值。线形图或图表主要用于表示数据。
6	连续数据	它表示特定范围内的数据值。直方图通常用于表示数据。

集中趋势

• 集中趋势是描述性统计中的一个重要概念。

• 在统计学中，集中趋势被定义为代表概率分布中心值的唯一值。

• 它没有说明数据集的个体信息；然而，它指的是一个索引值，它总结了整个数据集。

• 各种术语已被用来描述数据集的集中趋势。统计学中使用了各种集中趋势，例如均值、中位数、众数、几何均值、算术平均数、调和平均数等。

均值

• 均值是一个统计术语，用于描述一组数据的集中趋势。

• 它被定义为所有数据点的总和与数据点个数的比率。

• 它通常用一个符号表示，即$\mathrm{\underline{M}}$。数学上，它可以写成

$$\mathrm{\underline{M}=\frac{所有数据点的总和}{数据点的总数}}$$

$$\mathrm{或\:\underline{M}=\frac{m_1+m_2+m_3+m_4+.......+m_r}{r}}$$

$$\mathrm{或\:\underline{M}=\frac{\sum_{i=1}^r m_i}{r}}$$

其中 r = 数据点的总数

m₁,m₂,m₃,...= 各个数据的数值

符号 "∑ " 表示值的加法或求和。

均值的类型

统计学中使用了四种类型的均值。

• 算术平均数 − 算术平均数的含义包括数据集中所有数据的平均值。此外，它缩写为AM。统计上，它表示为算术平均数$\mathrm{(AM) =\underline{M}= \frac{Σ m}{r}}$

  其中 r = 数据总数

  Σ m = 所有单个数据的总和

• 几何平均数 − 几何平均数定义为所有数据乘积的 r 次方根。换句话说，它也被定义为所有数据点的对数值的算术平均数。此外，它缩写为 GM。因此，几何平均数可以表示为

  几何平均数 (GM) =$\mathrm{=\sqrt[r]{m_1×m_2×m_3×m_4×.....×m_r}}$

  $$\mathrm{或\: GM= (m_1×m_2×m_3×m_4×.....×m_r )^{\frac{1}{r}} }$$

  其中 m_1,m_2,m_3,...= 各个数据的数值

• 调和平均数 − 调和平均数是算术平均数的倒数。它缩写为 HM。当组大小与另一个组不同时，它被发现更有效。因此，调和平均数可以表示为调和平均数$\mathrm{(HM) =\frac{r}{\sum \frac{1}{m}}(其中\: r = 元素个数) }$

• 加权平均数 − 此类型的平均数用于总结数据集，以便最大限度地重视数据集中特定值。此外，它缩写为 WM。加权平均数可以表示如下加权平均数$\mathrm{(WM) = \frac{Σw_i x_i}{w_i}}$

  其中 w_i= 应用于每个值的权重，x_i= 要平均的单个数据。

AM、GM 和 HM 之间的关系

为了建立 AM、GM 和 HM 之间的关系，考虑两个算术值，即 p 和 q。

现在这两个数的 AM 是 = $\mathrm{AM =\frac{p+q}{2}}$

这两个数的 GM 是 = $\mathrm{GM =\sqrt{pq}}$

这两个数的 HM 是 $\mathrm{=\frac{2pq}{p+q}}$

通过对 AM 和 GM 进行代数运算，我们将得到

$$\mathrm{\frac{p+q}{2}\times \frac{2pq}{p+q}=(\sqrt{pq})^2}$$

这意味着，AM×HM=GM²

因此，GM 的平方是 AM 和 HM 的乘积。

其他集中趋势

一些重要的集中趋势已列在下面。

• 广义平均数

• 截断均值

• 四分位数间距平均数

• 中值范围

• 四分位数中位数

• 拟算术平均数

• 三均值

众数和中位数

众数 − 它被定义为数据集中出现频率最高的值。

中位数 − 中位数是一个索引或值，当样本按升序或降序排列时，它显示数据集的中间位置。它将数据集分成两半，即上半部分和下半部分集。此外，中位数也称为位置平均数。

解题示例

例 1

计算数据 -6、-9、10、8 的 AM 和 GM。

解答

算术平均数为 = $\mathrm{AM=\frac{-6-9+10+8}{4}=0.75}$

可以使用以下公式找到几何平均数

$$\mathrm{(GM) =\sqrt[4]{(-6)×(-9)×10×8}≃8.11}$$

∴ 给定数据的 AM 和 GM 分别为 0.75 和 8.11。

例 2

给定一组数据：4 和 16。

使用给定的数据集证明语句 AM×HM=GM²。

解答

$$\mathrm{AM =\frac{4+16}{2}=10}$$

$$\mathrm{GM = \sqrt{4×16}=8}$$

$$\mathrm{HM =\frac{2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}}=6.4}$$

根据上述值，可以得出结论 AM×HM=GM²

结论

本教程简要介绍了均值及其各种类型。本教程说明了集中趋势的基本定义及其各种参数。此外，还推导了 AM、GM 和 HM 之间的关系。此外，还提供了一些解题示例，以便更好地理解这一概念。总之，本教程可能有助于理解均值的基本概念。

常见问题

1.几何平均数的第一项可以为零吗？

不可以。几何级数或序列的第一项应为非零数。

2.几何平均数和算术平均数中哪个是更好的选择？

算术平均数用于评估数据的平均值，而几何平均数考虑了随时间推移的复合概念。因此，它更适合用于金融领域，以确定固定投资的回报。

3.在什么情况下，这两个均值（即 AM 和 GM）相同？

如果所有数据的数值都相等，那么这两个均值彼此相同。

4.前五个偶数的均值和中位数相同吗？

前五个偶数是 2、4、6、8 和 10。

$$\mathrm{Mean =\frac{2 + 4+ 6 + 8 + 10}{5} = 6}$$

$$\mathrm{Median =(\frac{n+1}{2})^{th}\:term}$$

$$\mathrm{=(\frac{5+1}{2})^{th}\:term}$$

$$\mathrm{=(3)^{rd}\: term=6}$$

∴ 前五个偶数的均值和中位数相等。

5.几何平均数的局限性是什么？

如果数据集中存在负整数，则难以找到几何平均数。