什么是均方误差？

均方误差 (MSE) 定义为实际值与估计值之差的平方的平均值。

数学上，均方误差为：

$$\mathrm{\varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left [ x(t) -\sum_{r=1}^{n}C_{r}g_{r}(t)\right ]^{2}dt}$$

$$\mathrm{\varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [ \int_{t_{1}}^{t_{2}}x^{2}(t)dt+\sum_{r=1}^{n}C_{r}^{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt-2\sum_{r=1}^{n}C_{r}\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt\right ]\; ...(1)}$$

$$\mathrm{\therefore C_{r}=\frac{\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt}{\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt}=\frac{1}{K_{r}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt\; \; ...(2)}$$

$$\mathrm{\therefore \int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt=C_{r}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt=C_{r}K_{r}\; \; ...(3)}$$

利用公式 (1) 和 (3)，我们得到：

$$\mathrm{\varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [\int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{2}(t)dt +\sum_{r=1}^{n}C^{2}_{r}K_{r}-2\sum_{r=1}^{n}C^{2}_{r}K_{r}\right ]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [\int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{2}(t)dt -\sum_{r=1}^{n}C^{2}_{r}K_{r}\right ]\; \; ...(4)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [ \int_{t_{1}}^{t_{2}}x^{2}(t)dt-(C_{1}^{2}K_{1}+C_{2}^{2}K_{2}+\cdot \cdot \cdot +C_{n}^{2}K_{n}) \right ]\; \; \cdot \cdot \cdot (5)}$$

因此，可以使用公式 (5) 计算均方误差。

数值例子

矩形函数定义为：

$$\mathrm{x(t)=\left\{\begin{matrix} 1\; \; for\, 0< t< \Pi \ -1\; \; for\, \Pi< t< 2\Pi\ \end{matrix}\right.}$$

信号 x(t) 在区间 [0, 2π] 内近似为正弦函数 $\mathrm{x(t)=\frac{4}{\Pi }\sin t}$。计算此近似的均方误差。

解答

矩形函数 x(t) 通过正弦信号 sin 𝑡 的近似值如图所示，其表达式为：

$$\mathrm{x(t)=\frac{4}{\Pi }\sin t}$$

此近似的均方误差可以使用以下公式计算：

$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [\int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{2}(t)\: dt-\int_{t_{1}}^{t_{2}} \left ( \frac{4}{\pi }\sin t \right )^{2}\; dt\right] }$$

这里，𝑡₁ = 0，𝑡₂ = 2𝜋，因此：

$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{2\pi -0}\left [\int_{0}^{2\pi } 1\: dt-(\frac{4}{\pi })^{2}\int_{0}^{2\pi } \sin^{2} t\; dt\right] }$$

$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{2\pi}\left [\int_{0}^{2\pi }\: dt-\left ( \frac{4}{\pi } \right )^{2}\int_{0}^{2\pi } \left ( \frac{1-cos2t}{2} \right )\; dt\right] }$$

$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{2\pi}\left [\int_{0}^{2\pi }\: dt-\left ( \frac{16}{\pi^{2} } \right )\int_{0}^{2\pi } \left ( \frac{1-cos2t}{2} \right )\; dt\right] }$$

$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{2\pi}\left [\left [ t \right ]_{0}^{2\pi }-\frac{16}{2\pi ^{2}}\left [ t-\frac{sin2t}{2} \right ]_{0}^{2\pi }\right] }$$

$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{2\pi }\left [ \left ( 2\pi -0 \right )-\frac{8}{\pi ^{2}}\begin{Bmatrix} (2\pi -0)-\left ( \frac{sin4\pi -sin0}{2} \right )\ \end{Bmatrix} \right ]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{2\pi }\left [ 2\pi -\frac{16}{\pi} \right ]=1-\frac{8}{\pi ^{2}}=0.189}$$

∴ 均方误差，𝜀 = 0.189 = 18.9%

Saini Manish Kumar

更新于：2021年11月13日

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