什么是多项式码？

多项式码是一种线性码，其有效码字集由能被较短的固定多项式（称为生成多项式）整除的多项式组成。

它们用于数据传输和存储过程中的错误检测和纠正。

多项式码的类型

多项式码的类型包括：

• 循环冗余校验码 (CRC)
• 博斯-乔德赫里-霍克文海姆码 (BCH码)
• 里德-所罗门码 (Reed–Solomon码)

用多项式表示比特串

码字（本质上是比特串）由系数为 0 或 1 的多项式表示。一个 k 位字由从 x⁰ 到 x^k-1 的多项式表示。此多项式的阶数是最高次项的幂，即 (k-1)。

例如，8 位字 11001101 由以下 7 阶多项式表示：

1x⁷ + 1x⁶ + 0x⁵ + 0x⁴ + 1x³ + 1x² + 0x¹ + 1x⁰ = x⁷ + x⁶ + x³ + x² + 1

模 2 运算

多项式码运算采用模 2 算术。

• **加法和减法：**根据有限域理论的规则，在模 2 算术中，加法和减法没有进位或借位。因此，这两个运算都与异或 (XOR) 运算相同。

例如，如果存在两个字 11001011 和 10101111，则加法和减法都将得到结果 01100100。

• **乘法：**

  模 2 乘法与与运算相同。

生成多项式

使用多项式码对消息进行编码时，会使用一个称为生成多项式 G(x) 的固定多项式。G(x) 的长度应小于它编码的消息的长度。

在 CRC 编码中，G(x) 的最高有效位 (MSB) 和最低有效位 (LSB) 位置都应为 1。在编码过程中，CRC 位附加到消息上，以便生成的帧可被 G(x) 整除。

George John

更新于：2019年7月30日

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