条件概率

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介绍

条件概率是指在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的可能性。在本教程中，我们将学习概率、相关事件和独立事件、条件概率和条件概率定理。我们还将学习概率中的乘法规则以及全概率和贝叶斯定理。

在另一个事件已经发生的情况下，一个事件发生的概率被称为条件概率。对于条件概率，事件必须是相关的。相关事件是指一个事件的发生会改变另一个事件发生概率的事件。

条件概率

在另一个事件已经发生的情况下，一个事件发生的概率被称为给定第二个事件的第一个事件的条件概率。它用‘|’表示。

例如，设A和B是掷骰子两次的和为12以及第一次掷出6的事件。

现在，我们知道掷骰子出现6的概率是六分之一。

即，$\mathrm{P(B)\:=\:\frac{1}{6}}$

两次掷骰子之和为12的概率是三十分之一。

即，$\mathrm{P(A)\:=\:\frac{1}{36}}$

但是，如果第一次掷骰子已经得到6，那么为了使两次之和为12，第二次掷骰子只需要得到6，即给定B的A的概率是六分之一。

即，$\mathrm{P(A/B)\:=\:\frac{1}{6}}$

条件概率的计算公式如下：

$$\mathrm{P(A/B)\:=\:\frac{P(A\cap\:B)}{P(B)}}$$

在这个例子中，事件A和B相互依赖。这类事件称为相关事件。

相关事件是指一个事件的发生会影响另一个事件发生概率的事件。

条件概率定理和性质。

性质1 - 设E是实验样本空间S中的一个事件，则我们有：

$\mathrm{P(S|E)\:=\:P(E|E)\:=\:1}$$

证明/解释 - 给定E已经发生的情况下，E发生的概率显然是1。

现在对于另一部分，E是样本空间S中的一个事件，在集合表示法中，这表示为𝐸 ⊆ 𝑆（E是S的子集）。如果E发生，这意味着样本空间S的一部分已经发生，这意味着S作为一个事件已经发生。因此，给定E的情况下，S的概率也是1。

性质2 - 如果A和B是样本空间S中的任意两个事件，F是S中的一个事件，且P(F) ≠ 0，则：

$\mathrm{P((A\cup\:B)|F)\:=\:P(A|F)\:+\:P(B|F)\:-\:P((A\cap\:B)|F)}$

证明/解释 -

我们知道，

$$\mathrm{P(A\cup\:B)\:=\:P(A)\:+\:P(B)\:-\:P(A\cap\:B)}$$

同时，$\mathrm{P(A|F)\:=\:\frac{P(A\cap\:F)}{P(F)}}$

根据分配律，我们可以在两边进行以下运算。

$\mathrm{P(A\cup\:B)\:P(A)\:+\:P(B)\:-\:P(A\cap\:B)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:...\:\:\:\:\:\:\:\:\:\cap\:F\:on\:both\:sides}$

$\mathrm{P((A\cup\:B)\cup\:F)\:=\:P(A\cap\:F)\:+\:P(B\cap\:F)\:-\:P((A\cap\:B)\cap\:F)}$

同时，由于$\mathrm{P(F)\:\neq\:0}$，将等式两边除以P(F)

$\mathrm{P((A\cup\:B)\cap\:F)/P(F)\:=\:P(A\cap\:F)/P(F)\:+\:P(B\cap\:F)/P(F)\:-\:P((A\cap\:B)\cap\:F)/P(F)}$

$\mathrm{\Longrightarrow\:P((A\:\cup\:B)|F)\:=\:P(A|F)\:+\:P(B|F)\:-\:P((A\cap\:B)|F)}$

性质3 - $\mathrm{P(A'|B)\:=\:1\:-\:P(A|B)}$

证明/解释 -

我们知道

$\mathrm{P(A')\:=\:1\:-\:P(A)}$

我们也知道

$\mathrm{P(S)\:=\:1}$

因此我们可以将等式改写为

$\mathrm{P(A')\:=\:P(S)\:-P(A)}$

类似于最后一个性质，我们可以使用交集的分配律，

$\mathrm{P(A'\cap\:B)\:=\:P(S\cap\:B)\:-\:P(A\cap\:B)}$

除以P(B)，

$\mathrm{P(A'\cap\:B)/P(B)\:=\:P(s\cap\:B)/P(B)\:-\:P(A\cap\:B)/P(B)}$

$\mathrm{P(A'|B)\:=\:P(S|B)\:-\:P(A|B)}$

使用性质1，$\mathrm{P(S|B)\:=\:1}$

$\mathrm{P(A'|B)\:=\:1\:-\:P(A|B)}$

概率中的乘法规则

概率中的乘法规则有两种形式，一种用于相关事件，另一种用于独立事件。

相关事件的乘法规则

给定B的A的条件概率由下式给出：

$$\mathrm{P(A|B)\:=\:\frac{P(A\cap\:B)}{P(B)}}$$

重新排列项，我们有：

$$\mathrm{P(A\cap\:B)\:P(B)\times\:P(A|B)}$$

同样地

$$\mathrm{P(A\cap\:B)\:=\:P(A)\times\:P(B|A)}$$

独立事件的乘法规则

给定B的A的条件概率由下式给出：

$$\mathrm{P(A|B)\:=\:P(B)\:P(B)\times\:P(A|B)}$$

但我们知道，独立事件不会影响彼此的发生

$$\mathrm{\Longrightarrow\:P(A|B)\:=\:P(A)\:and\:P(B|A)\:=\:P(B)}$$

用P(A)替换P(A|B)

$$\mathrm{\Longrightarrow\:P(A\cap\:B)\:=\:P(B)\times\:P(A)}$$

全概率和贝叶斯定理

全概率定理

全概率定理指出，如果A是样本空间S中的一个事件，可以将其划分为n个独立事件，例如𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑛，所有这些事件都与A相互依赖，则A的概率由下式给出：

$$\mathrm{P(A)\:=\:P(A|E_{1}).P(E_{1})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:P(A)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n P(A|E_{i}).P(E_{i})}$$

证明 -

事件A的概率，根据它与事件$\mathrm{E_{i},i\:=\:1,2,3,...,n}$的交集表示为：

$$\mathrm{P(A)\:=\:P(A\cap\:E_{1})\:+\:P(A\cap\:E_{2})\:+\:.....\:+\:P(A\cap\:E_{i})}$$

使用相关事件的概率乘法规则，我们有：

$$\mathrm{P(A\cap\:E_{i})\:=\:P(A|E_{i}).P(E_{i}),\forall\:i\:=\:1,2,3,.......,n}$$

将其代入上一个等式，我们有：

$$\mathrm{P(A)\:=\:P(A|E_{1}).P(E_{1})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:P(A)\:\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n P(A|E_{i}).P(E_{i})}$$

贝叶斯定理

贝叶斯定理将给定第二个事件的第一个事件的概率与给定第一个事件的第二个事件的概率联系起来。如果A是样本空间S中的一个事件，可以将其划分为n个独立事件，例如𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑛，所有这些事件都与A相互依赖，则给定A的情况下，任何𝐸𝑖的概率（给定$\mathrm{E_{i},\forall\:i\:=\:1,2,3,.....,n.}$的情况下A的概率）由下式给出：

$$\mathrm{P(E_{i}|A)\:=\:\frac{P(A|E_{i}).P(E_{i})}{P(A|E_{1}).P(E_{1})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}}$$

证明 -

我们根据条件概率公式知道，

$$\mathrm{P(E_{i}|A)=\:\frac{P(E_{i}\cap\:A)}{P(A)}\:=\:\frac{P(A\cap\:E_{i})}{P(A)}}$$

同样，根据相关事件的乘法规则，

$$\mathrm{P(A\cap\:E_{i})\:=\:P(A|E_{i}).P(E_{i})}$$

根据全概率定理

$$\mathrm{P(A)\:=\:P(A|E_{i}).P(E_{i})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}$$

将这些代入等式，我们有：

$$\mathrm{P(E_{i}|A)\:=\:\frac{P(A|E_{i}).P(E_{i})}{P(A|E_{1}).P(E_{1})\:+\:P(A|E_{2}).P(E_{2})\:+\:.......\:+\:P(A|E_{n}).P(E_{n})}}$$

已解决的例子

1) 假设有两个相同的袋子B1和B2，两个袋子都包含一些蓝色和一些红色的球（B1（6个蓝色，4个红色），B2（5个蓝色，5个红色））。如果随机选择一个袋子并从袋子中取出一个球，结果是蓝色的，那么选择的袋子是B2的概率是多少？

答案 - 设B1和B2分别是选择袋子B1和B2的事件

并设A是从所选袋子中抽出的球是蓝色的事件

然后，$\mathrm{P(B_{1})\:=\:P(B_{2})\:=\:0.5}$

$\mathrm{P(A|B_{1})\:=\:0.6,P(A|B_{2})\:=\:0.5}$

然后根据贝叶斯定理

$$\mathrm{P(B_{2}|A)\:=\:\frac{P(A|B_{2}).P(B_{2})}{P(A|B_{1}).P(B_{1})\:+\:P(A|B_{2}).P(B_{2})}\:=\:\frac{0.5\times\:0.5}{(0.6\times\:0.5)\:+\:(0.5\times\:0.5)}}$$

$$\mathrm{P(B_{2}|A)\:=\:\frac{0.25}{0.3\:0.25}\:=\:\frac{0.25}{0.55}\:=\:\frac{22}{55}}$$

$$\mathrm{P(B_{2}|A)\:=\:\frac{5}{11}\:=\:0.4545....}$$

结论

在本教程中，我们将学习概率、相关事件和独立事件、条件概率和条件概率定理。我们还将学习概率中的乘法规则以及全概率和贝叶斯定理。

常见问题

1. 概率是什么意思？

概率是对一个明确定义的事件发生的几率的数学表示。

2. 样本空间是什么？

样本空间定义为实验所有可能结果的集合。

3. 定义条件概率？

在另一个事件已经发生的情况下，一个事件发生的概率被称为条件概率。

4. 概率中的乘法规则是什么？

它指出，两个独立事件同时发生的概率是这些事件分别发生的概率的乘积。