动量守恒

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简介

你有没有意识到，接住一个快速移动的球比接住一个缓慢移动的球要困难得多？你有没有想过，一辆快速行驶的汽车发生事故时造成的损害可能比一辆缓慢行驶的汽车更大？

这都是因为在这两种情况下都涉及一个物理量，即动量。物体的动量是物体质量和速度的乘积。动量是一个矢量，其方向与物体速度的方向相同。因此，在快速移动的球和汽车的情况下，两者都具有较高的速度，因此动量会很高。

现在，如果我说这个物理量，即系统的动量，在所有情况下都会保持守恒，无论任何条件，只要没有外力作用于该系统。现在你可能会想——这里“系统”是什么意思？所以系统是我们在这个宇宙中定义研究范围的那一部分。

例如，如果两个球相互碰撞，而我们必须在这种情况下定义动量守恒，那么这两个球就是我们的系统。

牛顿第二运动定律与动量守恒之间的关系

你有没有注意到上面提到的动量守恒的主要条件之一是没有外力作用于系统？我们从哪里得出这个结论呢？如果我说这个条件来自牛顿第二运动定律，你会怎么想？请回忆牛顿第二运动定律的表述，它指出物体的动量变化率与作用力成正比，并沿作用力的方向发生。因此，如果没有外力作用于系统，则动量没有变化，动量保持守恒。

数学推导

现在让我们通过取两个在同一方向和一维空间中运动的球作为系统来推导出动量守恒的数学表达式。设这两个球的质量分别为$\mathrm{m_1}$和$\mathrm{m_2}$。此外，质量m1的速度为$\mathrm{u_1}$，方向为正x轴，$\mathrm{m_2}$的速度为$\mathrm{u_2}$，方向也为正x轴，如下图[情况(a)]所示。

我们假设$\mathrm{u_1}$的大小大于$\mathrm{u_2}$的大小。因此，如果它们在一维空间中运动，那么它们会在一段时间后相互碰撞，如下图[情况(b)]所示。

图片即将推出

图1：坐标轴

在碰撞过程中，两个球会在相反的方向上相互施加力，并且由于这两个力作用于彼此的时间非常短，所以我们可以说球在碰撞过程中相互施加冲量。现在你可能会感到困惑，既然有力的作用或冲量的存在，那么我们怎么能守恒动量呢？答案是，这个力作用在系统内部，所以这个力是系统内部力而不是外力。

图片即将推出

图2：表示一维空间中所有碰撞情况

现在让我们假设m₁和m₂碰撞后的速度分别为v₁和v₂。因此，如果我们写出碰撞前总动量(初始动量=pi)的表达式，则它将是 -

$$\mathrm{p_i = m_1u_1 + m_2u_2 …. (1)}$$

碰撞后的动量(最终动量=pf)将是 -

$$\mathrm{p_f = m_1v_1 + m_2v_2 …. (2)}$$

现在你可能会问，动量是一个矢量，那么我们怎么能用代数方法将其相加呢？答案是，由于这两个球都在同一方向和一维空间中运动，因此在这两种情况下速度方向相同，我们可以使用代数方法轻松地将它们相加。

现在，正如我们所看到的，当两个球碰撞时，它们会在相反的方向上相互施加力或冲量。设$\mathrm{m_1}$施加的力为$\mathrm{F_{21}}$，$\mathrm{m_2}$施加的力为$\mathrm{F_{12}}$。现在根据牛顿第三运动定律，这两个冲力将相等且方向相反，可以写成 -

$$\mathrm{F_{21} = − F_{12}\:\:\:…. (3)}$$

负号表示冲力的方向相反。设碰撞接触时间为‘t’，则根据牛顿第二运动定律，第一个球的公式为 -

$$\mathrm{F_{21}\:=\:\frac{m_1v_1\:-\:m_1u_1}{t}\:\:\:…. (4)}$$

$$\mathrm{F_{12}\:=\:\frac{m_2v_2\:-\:m_2u_2}{t}\:\:\:…. (5)}$$

现在根据公式(3) -

$$\mathrm{\Rightarrow\:\lgroup\frac{m_1v_1\:-\:m_1u_1}{t}\rgroup\:=\:-\lgroup\frac{m_2v_2\:-\:m_2u_2}{t}\rgroup}$$

所以，

$$\mathrm{\Rightarrow\:m_1v_1\:-\:m_1u_1\:=\:m_2v_2\:-\:m_2u_2}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:m_1u_1\:+\:m_2u_2\:=\:m_1v_1\:+\:m_2v_2}$$

现在从(1)和(2)，我们可以写出

$$\mathrm{\Rightarrow\:p_i\:=\:p_f}$$

因此，当没有外力作用于系统时，动量保持守恒。

动量守恒的例子

火箭推进

火箭有一个气体室，在推进开始时，气体室以非常高的速度喷射气体。由于在推进之前，火箭和气体室中的气体是静止的，因此初始总动量为零。但是推进后，气体获得向下方向的速度，因此气体的动量向下。为了守恒动量，火箭将向上移动。

枪支的后坐力

众所周知，枪支内部有子弹，在射击前，两者作为一个系统保持静止。一旦我们开枪，子弹就会以非常高的速度射出并获得一定的动量。为了守恒动量，枪支也会在相反的方向获得一定的速度。这种现象称为枪支的后坐力。

常见问题

Q1. 动量是标量还是矢量？

A1. 动量是矢量，因为它既有大小又有方向。它也遵循矢量代数定律。

Q2. 系统中动量守恒的主要条件是什么？

A2. 为了守恒动量，系统上不应该有任何外力作用。

Q3. 给出一些动量守恒的现实生活例子。

A3. 枪支的后坐力、火箭推进和炸弹爆炸是几个现实生活中的例子，它们体现了动量守恒。

Q4. 动量守恒基于哪条运动定律？

A4. 动量守恒基于牛顿第三运动定律，该定律指出，对于每一个作用，都有一个大小相等、方向相反的反作用。这意味着所有力总是成对出现的，一个物体不能在不受到自身作用力的前提下对另一个物体施加力。

Q5. 什么是冲力？

A5. 当某个力作用时间非常短，导致动量发生变化时，它被称为冲力。