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法学统计从根节点到路径上所有边的按位异或结果等于 K 的节点数
统计从根节点到路径上所有边的按位异或结果等于 K 的节点数。我们尝试确定给定树中节点的数量，其中从根节点到该节点路径上所有边的按位异或结果等于给定值 K。这就是所谓的统计从根节点到路径上所有边的按位异或结果等于 K 的节点数问题。这个有趣的点在于有效地计算从根节点到节点的每条路径上的异或值，同时遍历树。在本文中，我们将探讨解决此问题的几种方法，包括 Trie 数据结构、前缀异或数组和深度优先搜索。每种方法都提供了对有效统计此类节点的不同见解，并提供了解决涉及树的相关问题的有用技术。
使用的方法
深度优先搜索 (DFS)
前缀异或数组
Trie 数据结构
深度优先搜索 (DFS)
使用这种方法，我们使用深度优先搜索遍历树，同时跟踪从根节点到当前节点的所有边的异或值。在哈希映射中保持遍历过程中遇到的每个异或值的计数。在每个节点处，我们尝试检查哈希映射是否包含当前路径的异或值与 K 的异或结果。如果是，则增加计数，因为路径上存在节点，其与当前节点的异或值产生值 K。然后继续深度优先搜索遍历以检查其他路径。
算法
从头开始设置一个哈希映射来跟踪在 DFS 遍历期间看到的异或值的计数。
使用深度优先搜索遍历树，并记下从根节点到当前节点的每条边的异或值。
检查每个节点，查看哈希映射是否包含当前路径的异或值与 K 的异或结果。如果是，则相应地增加计数。
递归地探索当前节点的每个子节点，根据需要更改当前路径的异或值。
遍历完成后，计数将反映从根节点到路径上所有边的按位异或结果等于 K 的节点数。
时间复杂度为 O(N)，其中 N 是树中节点的数量。
示例
#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <vector>
using namespace std;
unordered_map<int, vector<int>> graph;
unordered_map<int, int> xorCount;
void addEdge(int u, int v) {
graph[u].push_back(v);
graph[v].push_back(u);
}
void dfs(int node, int parent, int xorValue, int k) {
xorValue ^= node;
if (xorCount.find(xorValue ^ k) != xorCount.end())
xorCount[xorValue ^ k]++;
for (int child : graph[node]) {
if (child != parent) {
dfs(child, node, xorValue, k);
}
}
}
int main() {
addEdge(1, 2);
addEdge(1, 3);
addEdge(2, 4);
addEdge(2, 5);
addEdge(3, 6);
int k = 3;
xorCount[0] = 1;
dfs(1, -1, 0, k);
cout << "Count of nodes whose XOR of all edges leading to root equals " << k << ": ";
cout << xorCount[k] << endl;
return 0;
}
输出
Count of nodes whose XOR of all edges leading to root equals 3: 0
滑动窗口法
在这种方法中，使用前缀异或数组快速计算从根节点到特定节点的每条路径上所有边的异或值。当我们向下遍历树时，我们使用深度优先搜索方法计算前缀异或值。对于每个节点，我们检查前缀异或数组是否包含当前路径的异或值与 K 的异或结果。如果是，则相应地增加计数。
算法
从头开始创建一个前缀异或数组，并用连接每个节点到根节点的所有边的异或值填充它。
使用深度优先搜索遍历，向下遍历树，同时更新前缀异或数组。
检查每个节点，查看前缀异或数组是否包含当前路径的异或值与 K 的异或结果。如果是，则相应地增加计数。
通过递归探索当前节点的每个子节点来更新前缀异或数组。
遍历完成后，计数将反映从根节点到路径上所有边的按位异或结果等于 K 的节点数。时间复杂度为 O(N)，其中 N 是树中节点的数量。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void dfs(int node, int parent, const vector<vector<int>>& graph,
vector<int>& prefixXOR, int currentXOR) {
prefixXOR[node] = currentXOR;
for (int child : graph[node]) {
if (child != parent) {
dfs(child, node, graph, prefixXOR, currentXOR ^ child);
}
}
}
void countXORPaths(int node, int parent, const vector<vector<int>>& graph, const vector<int>& prefixXOR, int K, int& count) {
if (prefixXOR[node] == K)
count++;
for (int child : graph[node]) {
if (child != parent) {
countXORPaths(child, node, graph, prefixXOR, K, count);
}
}
}
int main() {
int n = 6;
int root = 0;
vector<vector<int>> graph(n);
graph[0] = {1, 2};
graph[1] = {0, 3, 4};
graph[2] = {0, 5};
vector<int> prefixXOR(n, 0);
dfs(root, -1, graph, prefixXOR, 0);
int K = 2;
int count = 0;
countXORPaths(root, -1, graph, prefixXOR, K, count);
cout << count << endl;
return 0;
}
输出
2
Trie 数据结构
在这种方法中，遍历过程中遇到的前缀异或值存储在 Trie 数据结构中。对于每个节点，我们检查 Trie 是否包含当前路径的异或值与 K 的异或结果。如果是，则相应地增加计数。Trie 有效地处理异或运算，并允许我们快速查找所需的异或值。
算法
创建一个新的空 Trie 数据结构实例来存储遍历期间遇到的任何前缀异或值。
执行树的深度优先搜索遍历，当我们向下遍历树时，使用前缀异或值更新 Trie。
检查每个节点，查看 Trie 是否包含当前路径的异或值与 K 的异或结果。如果是，则相应地增加计数。
递归地探索当前节点的每个子节点，同时更新 Trie。
遍历完成后，计数将反映从根节点到路径上所有边的按位异或结果等于 K 的节点数。
时间复杂度为 O(N)，其中 N 是树中节点的数量。
示例
#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <vector>
using namespace std;
struct TrieNode {
unordered_map<int, TrieNode*> children;
};
class Trie {
public:
Trie() {
root = new TrieNode();
}
void insert(int num) {
TrieNode* curr = root;
for (int i = 31; i >= 0; --i) {
int bit = (num >> i) & 1;
if (curr->children.find(bit) == curr->children.end())
curr->children[bit] = new TrieNode();
curr = curr->children[bit];
}
}
bool search(int num) {
TrieNode* curr = root;
for (int i = 31; i >= 0; --i) {
int bit = (num >> i) & 1;
if (curr->children.find(1 - bit) != curr->children.end())
curr = curr->children[1 - bit];
else
curr = curr->children[bit];
}
return true;
}
private:
TrieNode* root;
};
struct TreeNode {
int val;
vector<TreeNode*> children;
};
int countPrefixXOR(TreeNode* root, Trie& trie, int curXOR, int targetXOR) {
curXOR ^= root->val;
trie.insert(curXOR);
int count = trie.search(curXOR ^ targetXOR);
for (TreeNode* child : root->children) {
count += countPrefixXOR(child, trie, curXOR, targetXOR);
}
return count;
}
int main() {
// Sample Tree Creation
TreeNode* root = new TreeNode();
root->val = 1;
TreeNode* node1 = new TreeNode();
node1->val = 0;
root->children.push_back(node1);
TreeNode* node2 = new TreeNode();
node2->val = 1;
root->children.push_back(node2);
TreeNode* node3 = new TreeNode();
node3->val = 0;
node1->children.push_back(node3);
TreeNode* node4 = new TreeNode();
node4->val = 1;
node1->children.push_back(node4);
TreeNode* node5 = new TreeNode();
node5->val = 1;
node2->children.push_back(node5);
int K = 5;
Trie trie;
int result = countPrefixXOR(root, trie, 0, K);
cout << "The count of nodes with prefix XOR equal to K is: " <<
result << endl;
return 0;
}
输出
The count of nodes with prefix XOR equal to K is: 6
结论
所有三种方法都能有效地统计从根节点到路径上所有边的按位异或结果等于或大于 K 的节点数。选择哪种方法取决于特定的需求、可用的数据结构以及树的大小。DFS 方法简单易用，但对于大型树可能不是最佳选择。对于性能关键型应用程序，前缀异或数组和 Trie 方法更可取，因为它们对于大型树更有效，并提供恒定时间的异或运算。
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