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法律研究最大化图中与所有其他节点断开连接的节点数量
为了最大化图中与所有其他节点断开连接的节点数量，我们必须找到并隔离连接最少的节点。该策略涉及重复删除度数最低（连接最少）的节点，直到不再找到此类节点。这样做会导致产生最大数量的相互分离的节点，这会在图中持续隔离不同的组件。这种策略通过确保剩余节点实际上是微不足道的连接来扩展图中没有与任何其他节点关联的节点的数量。
使用的方法
贪心算法
最大独立集 (MIS) 算法
贪心算法
贪心算法涉及重复删除度数最低（连接最少）的节点，以最大化图中与任何其他节点都不连接的节点数量。该过程持续进行，直到不再有此类节点。通过重复删除连接最少的节点来创建图中的断开连接组件，从而增加了隔离节点的数量。需要注意的是，贪心算法可能无法始终保证精确的最大断开连接节点数，因为结果可能会根据删除节点的顺序而变化。但是，它提供了一种相对简单且有效的方法来增加图中未连接的节点数量。
算法
从初始图 G 开始。
一开始创建一个空列表来存储断开连接的节点。
重复以下步骤，直到无法再删除任何节点
继续搜索，直到没有剩余度数最低的节点。
在策略结束时获得的已删除节点列表表示图中相互隔离的节点数量。
a. 在当前图 G 中，找到度数最低（连接最少）的节点。
b. 如果有多个节点具有相同的最低度数，则选择任意一个节点。
c. 将选定的节点从图 G 中删除后，将其添加到断开连接的节点列表中。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Graph {
int V;
vector<vector<int>> adj;
Graph(int vertices) : V(vertices) {
adj.resize(V, vector<int>());
}
void addEdge(int u, int v) {
adj[u].push_back(v);
adj[v].push_back(u);
}
int findLowestDegreeNode() {
int minDegree = V + 1;
int node = -1;
for (int i = 0; i < V; ++i) {
if (adj[i].size() < minDegree) {
minDegree = adj[i].size();
node = i;
}
}
return node;
}
vector<int> getDisconnectedNodes() {
vector<int> disconnected;
while (true) {
int node = findLowestDegreeNode();
if (node == -1)
break;
disconnected.push_back(node);
for (int neighbor : adj[node]) {
adj[neighbor].erase(remove(adj[neighbor].begin(), adj[neighbor].end
(), node), adj[neighbor].end());
}
adj[node].clear();
}
return disconnected;
}
};
void printGraph(Graph& G) {
for (int i = 0; i < G.V; ++i) {
cout << "Node " << i << " : ";
for (int neighbor : G.adj[i]) {
cout << neighbor << " ";
}
cout << endl;
}
}
int main() {
Graph G(5);
G.addEdge(0, 1);
G.addEdge(0, 2);
G.addEdge(1, 2);
G.addEdge(3, 4);
cout << "Initial Graph:" << endl;
printGraph(G);
G.getDisconnectedNodes();
cout << "Graph after removing nodes:" << endl;
printGraph(G);
return 0;
}
输出
Initial Graph: Node 0 : 1 2 Node 1 : 0 2 Node 2 : 0 1 Node 3 : 4 Node 4 : 3
最大独立集 (MIS) 算法
最大独立集 (MIS) 算法旨在识别图中最大可能的节点子集，其中任何两个节点都不相邻（连接），目的是最大化图中与所有其他节点断开连接的节点数量。该过程涉及找到图中没有共享边的节点并将它们添加到独立集中。这确保了所选节点彼此不连接，从而最大化了断开连接的节点数量。随着算法的继续，所选节点及其邻居被迭代地从图中移除。通过重复此过程，直到无法再向独立集中添加任何节点，我们得到图中与所有其他节点断开连接的节点的最大数量。
算法
从初始图 G 开始。
初始化一个空集来存储最大独立集 (MIS)。
重复以下步骤，直到无法再向 MIS 添加任何节点
继续这样做，直到 MIS 集无法再包含任何节点。
a. 在当前图 G 中找到一个节点，该节点与任何其他节点（或邻居）都没有共享边。
b. 将选定的节点包含在 MIS 集中。
c. 从图 G 中删除选定的节点及其邻居。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;
class Graph {
private:
vector<set<int>> adjacencyList;
public:
Graph(int numNodes) : adjacencyList(numNodes) {}
void addEdge(int u, int v);
set<int> findIndependentSet();
};
void Graph::addEdge(int u, int v) {
adjacencyList[u].insert(v);
adjacencyList[v].insert(u);
}
set<int> Graph::findIndependentSet() {
set<int> independentSet;
vector<bool> included(adjacencyList.size(), false);
while (true) {
int nodeToAdd = -1;
for (int i = 0; i < adjacencyList.size(); ++i) {
if (!included[i]) {
bool canAdd = true;
for (const int& neighbor : adjacencyList[i]) {
if (included[neighbor]) {
canAdd = false;
break;
}
}
if (canAdd) {
nodeToAdd = i;
break;
}
}
}
if (nodeToAdd == -1) {
break;
}
independentSet.insert(nodeToAdd);
included[nodeToAdd] = true;
for (const int& neighbor : adjacencyList[nodeToAdd]) {
included[neighbor] = true;
}
}
return independentSet;
}
int main() {
// Example graph with 7 nodes and 6 edges
Graph graph(7);
graph.addEdge(0, 1);
graph.addEdge(0, 2);
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(1, 4);
graph.addEdge(2, 5);
graph.addEdge(2, 6);
set<int> maxIndependentSet = graph.findIndependentSet();
for (const int& node : maxIndependentSet) {
cout << node << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}
输出
0
结论
我们使用两种积极的方法，贪心算法和最大独立集 (MIS) 算法，来最大化图中相互断开连接的节点数量。贪心算法涉及创建断开连接的组件、重复删除度数最低的节点以及增加隔离节点的数量。虽然简单，但它可能无法始终确保精确的最大数量。另一方面，MIS 算法旨在通过找到最大可能的节点子集（没有任何相邻连接）来隔离节点。MIS 算法通过迭代地将节点添加到独立集中并从图中删除它们及其邻居，以系统的方式达到最大数量的断开连接节点，从而提供了一种更可靠的方法。
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